正の奇数を、第 $n$ 群に $n$ 個の数が入るようにグループ分けする。 (1) $n \geq 2$ のとき、第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。 (2) 第15群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

1. 問題の内容

正の奇数を、第 $n$ 群に $n$ 個の数が入るようにグループ分けする。

(1) $n \geq 2$ のとき、第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。

(2) 第15群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の数を求める。

まず、第 $n$ 群の最初の数は、それまでの群に含まれる奇数の個数に1を加えたものである。第1群から第 $n-1$ 群までの奇数の個数は、

$1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$

である。したがって、第 $n$ 群の最初の数は、奇数の数列において $\frac{(n-1)n}{2} + 1$ 番目の数となる。

奇数の数列の一般項は $2k-1$ であるから、第 $n$ 群の最初の数は、

$2(\frac{(n-1)n}{2} + 1) - 1 = (n-1)n + 2 - 1 = n^2 - n + 1$

である。

(2) 第15群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

第15群には15個の数が入っている。第15群の最初の数は、$n=15$ を (1) の結果に代入して

$15^2 - 15 + 1 = 225 - 15 + 1 = 211$

である。

第15群の数列は、初項 211、公差 2、項数 15 の等差数列である。したがって、その和 $S$ は、

$S = \frac{15}{2} (2 \times 211 + (15-1) \times 2) = \frac{15}{2} (422 + 28) = \frac{15}{2} \times 450 = 15 \times 225 = 3375$

である。

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の数：$n^2 - n + 1$

(2) 第15群に入るすべての数の和 $S$：3375