楕円曲線 $E: y^2 = x^3 + 3x + 4$ 上の2点 $P$ と $Q$ に対する加法演算 $P + Q = R$ について、$R$ がどのように定義されるかを幾何学的に説明する。また、$P = Q$ の場合の $R$ の定義も説明する。

1. 問題の内容

楕円曲線 $E: y^2 = x^3 + 3x + 4$ 上の2点 $P$ と $Q$ に対する加法演算 $P + Q = R$ について、$R$ がどのように定義されるかを幾何学的に説明する。また、$P = Q$ の場合の $R$ の定義も説明する。

2. 解き方の手順

(1) $P \neq Q$ の場合:

* 楕円曲線 $E$ 上の2点 $P$ と $Q$ を通る直線 $L$ を引く。

* この直線 $L$ は一般に楕円曲線 $E$ と3点で交わる（$P$ と $Q$ 以外の点を $S$ とする）。

* 点 $S$ の $x$ 軸に関する対称点を $R$ とする。つまり、$R$ は $S$ の $y$ 座標の符号を反転させた点である。このとき、$R = P + Q$ と定義する。

(2) $P = Q$ の場合:

* 点 $P$ における楕円曲線 $E$ の接線 $L$ を引く。

* この接線 $L$ は一般に楕円曲線 $E$ と $P$ 以外にもう一点 $S$ で交わる。

* 点 $S$ の $x$ 軸に関する対称点を $R$ とする。つまり、$R$ は $S$ の $y$ 座標の符号を反転させた点である。このとき、$R = P + P = 2P$ と定義する。

(3) 無限遠点 $O$ の場合:

* 楕円曲線における加法演算の単位元は無限遠点 $O$ と呼ばれる点である。これは、楕円曲線上の任意の点 $P$ に対して $P + O = P$ となる点である。

* 幾何学的には、点 $P$ を通る鉛直線と楕円曲線のもう一つの交点の、$x$軸に関して対称な点が $P$ となることを意味する。

(4) 注意点:

* 上記の手順で $L$ が楕円曲線と3点で交わらない場合（例えば、$P$ または $Q$ が無限遠点 $O$ の場合や、$P$ と $Q$ を通る直線が $x$ 軸に平行な場合）、加法の定義を適切に拡張する必要がある。

* もし $P$ と $Q$ が互いに $x$ 軸に関して対称な点である場合 (つまり、$P = (x, y)$ で $Q = (x, -y)$ の場合)、直線 $L$ は鉛直線となり、$L$ と $E$ の3つ目の交点は無限遠点 $O$ となる。この場合、$P + Q = O$ と定義する。

3. 最終的な答え

楕円曲線 $y^2 = x^3 + 3x + 4$ 上の2点 $P$ と $Q$ に対する加法 $P + Q = R$ は、以下の幾何学的な方法で定義される。

* $P \neq Q$ の場合：$P$ と $Q$ を通る直線と楕円曲線の3つ目の交点 $S$ の $x$ 軸に関する対称点が $R$ である。

* $P = Q$ の場合：$P$ における楕円曲線の接線と楕円曲線のもう一つの交点 $S$ の $x$ 軸に関する対称点が $R$ である。

* 無限遠点 $O$ が存在し、$P+O=P$ を満たす。$x$軸に関して対称な点同士を足し合わせると無限遠点となる。