数列 1, 1, 3, 1, 3, 5, 1, 3, 5, 7, 1, 3, ... について、以下の問いに答えます。 (1) 9回目に現れる5は第何項か。 (2) 初項から7回目の3までの項の和を求めよ。

1. 問題の内容

数列 1, 1, 3, 1, 3, 5, 1, 3, 5, 7, 1, 3, ... について、以下の問いに答えます。

(1) 9回目に現れる5は第何項か。

(2) 初項から7回目の3までの項の和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 数列を観察すると、1, 1, 3, 1, 3, 5, 1, 3, 5, 7, 1, 3, ... は、1, 1, 3, 1, 3, 5, 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 9, ... のように、奇数の数列が繰り返される構造になっています。

各奇数列に含まれる項の数は、1, 2, 3, 4, 5,... と増えていきます。

5が現れるのは、3番目の奇数列からです。

5は、3番目の奇数列では3番目に現れます。

4番目の奇数列では3番目に現れます。

n番目の奇数列では3番目に現れます。

5 が現れる位置は、次のようになります。

* 1回目: 6項目

* 2回目: 9項目

* 3回目: 12項目

一般的に、k回目の5が現れる位置は、

$1 + 2 + 3 + ... + (k+2)$ 番目の奇数列の3番目。ただし、最初の2つの数列は5を含んでいません。

数列の長さの和は、$\frac{(k+2)(k+3)}{2}$です。

この数列の中での5の位置は、各奇数列の３番目なので、3を引けばよい。

k回目の5は $\frac{(k+2)(k+3)}{2} - k$　項目。　

9回目に現れる5は、

$\frac{(9+2)(9+3)}{2} - 9 = \frac{11 \cdot 12}{2} - 9 = 66 - 9 = 57$ 項目です。

(2) 初項から7回目の3までの項の和を求めます。

数列の中で3が現れる場所を調べます。

1, 1, 3, 1, 3, 5, 1, 3, 5, 7, 1, 3, ...

3が出現する位置は、3, 5, 8, 12, 14, 17, 21 番目です。

7回目の3までの項の和は、

1 + 1 + 3 + 1 + 3 + 5 + 1 + 3 + 5 + 7 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 95

1+1+3+1+3+5+1+3+5+7+1+3+5+7+1+3+5+7 = 62

7回目の3は12項目。

数列は、1, 1, 3, 1, 3, 5, 1, 3, 5, 7, 1, 3

これらの合計は、1+1+3+1+3+5+1+3+5+7+1+3 = 34

3. 最終的な答え

(1) 57

(2) 34