$n$ が正の整数のとき、$7^{n+1} + 2^{n-1}$ が5の倍数であることを証明します。

1. 問題の内容

$n$ が正の整数のとき、$7^{n+1} + 2^{n-1}$ が5の倍数であることを証明します。

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて証明します。

(1) $n = 1$ のとき：

$7^{1+1} + 2^{1-1} = 7^2 + 2^0 = 49 + 1 = 50$ となり、これは5の倍数です。

(2) $n = k$ のとき、$7^{k+1} + 2^{k-1}$ が5の倍数であると仮定します。つまり、$7^{k+1} + 2^{k-1} = 5m$ ($m$ は整数) と書けることを仮定します。

(3) $n = k+1$ のとき：

$7^{(k+1)+1} + 2^{(k+1)-1} = 7^{k+2} + 2^k$ が5の倍数であることを示す必要があります。

$7^{k+2} + 2^k = 7 \cdot 7^{k+1} + 2 \cdot 2^{k-1}$

ここで、仮定より $7^{k+1} = 5m - 2^{k-1}$ ですから、これを代入します。

$7^{k+2} + 2^k = 7(5m - 2^{k-1}) + 2 \cdot 2^{k-1} = 35m - 7 \cdot 2^{k-1} + 2 \cdot 2^{k-1} = 35m - 5 \cdot 2^{k-1} = 5(7m - 2^{k-1})$

$7m - 2^{k-1}$ は整数なので、$7^{k+2} + 2^k$ は5の倍数です。

したがって、数学的帰納法により、$n$ が正の整数のとき、$7^{n+1} + 2^{n-1}$ は5の倍数であることが証明されました。

3. 最終的な答え

$n$ が正の整数のとき、$7^{n+1} + 2^{n-1}$ は5の倍数である。