自然数の列を、第 $n$ 群に $2^{n-1}$ 個の数が入るように群に分ける。 (1) 第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。 (2) 第1群から第 $n$ 群までに入るすべての数の和を求める。 (3) 150 は第何群の何番目の数か。

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

自然数の列を、第 $n$ 群に $2^{n-1}$ 個の数が入るように群に分ける。

(1) 第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。

(2) 第1群から第 $n$ 群までに入るすべての数の和を求める。

(3) 150 は第何群の何番目の数か。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の数を求める。第 $n-1$ 群までに入る数の個数は、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-2} = \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1$

である。したがって、第 $n$ 群の最初の数は、 $2^{n-1} - 1 + 1 = 2^{n-1}$ となる。

(2) 第1群から第 $n$ 群までに入るすべての数の和を求める。第 $n$ 群に入る数の和を $S_n$ とする。第 $n$ 群の最初の数は $2^{n-1}$ であり、第 $n$ 群には $2^{n-1}$ 個の数が入るので、第 $n$ 群の最後の数は $2^{n-1} + 2^{n-1} - 1 = 2^n - 1$ である。したがって、第 $n$ 群の数の和は、

$S_n = \frac{2^{n-1} (2^{n-1} + 2^n - 1)}{2} = 2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1)$

第1群から第 $n$ 群までの和は、$\sum_{k=1}^{n} S_k$ となる。第1群から第 $n$ 群までの最後の数は $2^n - 1$ なので、その和は

$\sum_{k=1}^{2^n - 1} k = \frac{(2^n - 1)(2^n)}{2} = 2^{n-1} (2^n - 1)$

(3) 150 が第何群の何番目の数かを求める。

第 $n$ 群の最後の数が $2^n - 1$ であるから、

$2^n - 1 \ge 150$ となる最小の $n$ を探す。

$2^7 - 1 = 127$

$2^8 - 1 = 255$

したがって、150 は第8群にある。第7群の最後の数は $2^7 - 1 = 127$ であるから、150 は第8群の $150 - 127 = 23$ 番目の数である。

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の数は $2^{n-1}$

(2) 第1群から第 $n$ 群までに入るすべての数の和は $2^{n-1}(2^n - 1)$

(3) 150 は第8群の23番目の数