媒介変数 $t$ を用いて $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, $y = \frac{4t}{1+t^2}$ と表される曲線が、$xy$ 平面上でどのような曲線を表すか図示せよ。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, $y = \frac{4t}{1+t^2}$ と表される曲線が、$xy$ 平面上でどのような曲線を表すか図示せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の関係式を求める。

$x^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2$ を計算する。

$x^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = \left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2 + \left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2$

$= \frac{(1-t^2)^2 + (2t)^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 - 2t^2 + t^4 + 4t^2}{1 + 2t^2 + t^4} = \frac{1 + 2t^2 + t^4}{1 + 2t^2 + t^4} = 1$

したがって、$x^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = 1$ である。

これは、楕円 $\frac{x^2}{1^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ を表す。

ただし、$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, $y = \frac{4t}{1+t^2}$ より $-1 \le x \le 1$ かつ $-2 \le y \le 2$ である。

$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$

$t$ が実数全体を動くとき、$x$ は $-1 \le x \le 1$ 全ての値を取り、$y$ は $-2 \le y \le 2$ 全ての値を取る。

3. 最終的な答え

楕円 $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{4} = 1$