次の無限級数の収束、発散について調べ、収束する場合は、その和を求めます。 (1) $3 - \frac{5}{2} + \frac{5}{2} - \frac{7}{3} + \frac{7}{3} - \frac{9}{4} + \frac{9}{4} - \frac{11}{5} + \dots$ (2) $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{8} + \frac{1}{27} + \frac{1}{16} + \dots$

1. 問題の内容

次の無限級数の収束、発散について調べ、収束する場合は、その和を求めます。

(1) $3 - \frac{5}{2} + \frac{5}{2} - \frac{7}{3} + \frac{7}{3} - \frac{9}{4} + \frac{9}{4} - \frac{11}{5} + \dots$

(2) $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{8} + \frac{1}{27} + \frac{1}{16} + \dots$

2. 解き方の手順

(1)

この級数は $3 + (-\frac{5}{2} + \frac{5}{2}) + (-\frac{7}{3} + \frac{7}{3}) + (-\frac{9}{4} + \frac{9}{4}) + (-\frac{11}{5} + \dots)$ と整理できます。

第n項までの部分和を$S_n$とすると、

$S_n = 3 - \frac{2n+1}{n}$ ($n$が偶数の時)

$S_n = 3$ ($n$が奇数の時)

$n \to \infty$とすると$\frac{2n+1}{n} \to 2$となるので、

$\lim_{n \to \infty} S_n$ は存在しないため、発散します。

(2)

この級数を並び替えて、

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots$

とします。

これは、初項1、公比$\frac{1}{2}$の等比数列と初項$\frac{1}{3}$、公比$\frac{1}{3}$の等比数列の和です。

それぞれの和は、

$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

$\frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}$

よって、全体の和は$2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$となります。

3. 最終的な答え

(1) 発散

(2) $\frac{5}{2}$