海外旅行者100人のうち、75人が風邪薬を、80人が胃薬を携帯していた。 (1) 風邪薬と胃薬を両方とも携帯した人は、最も多くて何人か、最も少なくて何人か。 (2) 風邪薬と胃薬を両方とも携帯していない人は、最も多くて何人か、最も少なくて何人か。

1. 問題の内容

海外旅行者100人のうち、75人が風邪薬を、80人が胃薬を携帯していた。

(1) 風邪薬と胃薬を両方とも携帯した人は、最も多くて何人か、最も少なくて何人か。

(2) 風邪薬と胃薬を両方とも携帯していない人は、最も多くて何人か、最も少なくて何人か。

2. 解き方の手順

(1) 風邪薬と胃薬を両方とも携帯した人について

* 最も多い場合: 風邪薬を携帯した75人全員が胃薬も携帯している場合なので、75人。

* 最も少ない場合:

風邪薬を携帯した人の集合をA、胃薬を携帯した人の集合をBとする。

全体の人数をUとすると、$|U| = 100$、$|A| = 75$、$|B| = 80$である。

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$より、$|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|$

$|A \cup B|$の最大値は100であるから、$|A \cap B|$の最小値は $75 + 80 - 100 = 55$

(2) 風邪薬と胃薬を両方とも携帯していない人について

* 最も多い場合:

風邪薬を携帯した人が75人なので、風邪薬を携帯していない人は$100 - 75 = 25$人。

胃薬を携帯した人が80人なので、胃薬を携帯していない人は$100 - 80 = 20$人。

風邪薬も胃薬も携帯していない人が最も多い場合は、風邪薬を携帯している人と胃薬を携帯している人の重複が最大であるとき。

$|A \cup B|$の最小値は、$|A|$と$|B|$のうち大きい方なので、$|A \cup B| \ge 80$となる。

よって、両方とも携帯していない人は $100 - 80 = 20$人。

* 最も少ない場合: 風邪薬を携帯した人と胃薬を携帯した人の合計が最大になる時、つまり100人全員が少なくともどちらかの薬を携帯している場合。

この時、風邪薬も胃薬も携帯していない人は0人。

3. 最終的な答え

(1) 風邪薬と胃薬を両方とも携帯した人

* 最も多い場合: 75人

* 最も少ない場合: 55人

(2) 風邪薬と胃薬を両方とも携帯していない人

* 最も多い場合: 20人

* 最も少ない場合: 0人