媒介変数 $t$ を用いて、 $x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ $y = \frac{4t}{1+t^2}$ と表される曲線が、$xy$ 平面上でどのような曲線を表すか、図示しなさい。ただし、$t = \tan\theta$ とおいて考えること。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて、

$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

$y = \frac{4t}{1+t^2}$

と表される曲線が、$xy$ 平面上でどのような曲線を表すか、図示しなさい。ただし、$t = \tan\theta$ とおいて考えること。

2. 解き方の手順

まず、$t = \tan\theta$ とおきます。すると、

$x = \frac{1 - \tan^2\theta}{1 + \tan^2\theta}$

$y = \frac{4\tan\theta}{1 + \tan^2\theta}$

三角関数の公式より、$\frac{1}{\cos^2\theta} = 1 + \tan^2\theta$ であるから、

$x = \frac{1 - \tan^2\theta}{1 + \tan^2\theta} = (1 - \tan^2\theta)\cos^2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = \cos2\theta$

$y = \frac{4\tan\theta}{1 + \tan^2\theta} = 4\tan\theta \cos^2\theta = 4 \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \cos^2\theta = 4\sin\theta \cos\theta = 2(2\sin\theta\cos\theta) = 2\sin2\theta$

したがって、

$x = \cos2\theta$

$y = 2\sin2\theta$

ここで、$x^2 + (\frac{y}{2})^2$ を計算すると、

$x^2 + (\frac{y}{2})^2 = \cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta = 1$

よって、$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$

これは楕円を表します。楕円の式は $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ で表されるので、$a = 1$, $b = 2$ です。したがって、この楕円は $x$ 軸方向に半径 $1$ 、$y$ 軸方向に半径 $2$ を持つ楕円です。

3. 最終的な答え

$x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ で表される楕円。

($x$軸方向に半径1, $y$軸方向に半径2)