与えられた3つの極限を計算する問題です。 (1) $\lim_{x\to 0} \frac{x-2}{x^2 - x}$ (2) $\lim_{x\to 0} (\frac{1}{2})^{\frac{1}{x}}$ (3) $\lim_{x\to 0} \frac{1}{1 + 2^{\frac{1}{x}}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの極限を計算する問題です。

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{x-2}{x^2 - x}$

(2) $\lim_{x\to 0} (\frac{1}{2})^{\frac{1}{x}}$

(3) $\lim_{x\to 0} \frac{1}{1 + 2^{\frac{1}{x}}}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{x-2}{x^2 - x}$

分母を因数分解します。

$\lim_{x\to 0} \frac{x-2}{x(x-1)}$

$x$が0に近づくとき、分子は-2に近づき、分母は0に近づきます。

$x$が0に近づくとき、$x(x-1)$は負の方向から0に近づくので、$\frac{x-2}{x(x-1)}$は正の無限大に発散します。

(2) $\lim_{x\to 0} (\frac{1}{2})^{\frac{1}{x}}$

$y = \frac{1}{x}$とおくと、$x \to 0$のとき、$y \to \pm \infty$となります。

$x \to +0$ (右側極限)のとき、$y \to +\infty$なので、

$\lim_{x\to +0} (\frac{1}{2})^{\frac{1}{x}} = \lim_{y\to +\infty} (\frac{1}{2})^{y} = 0$

$x \to -0$ (左側極限)のとき、$y \to -\infty$なので、

$\lim_{x\to -0} (\frac{1}{2})^{\frac{1}{x}} = \lim_{y\to -\infty} (\frac{1}{2})^{y} = \lim_{y\to -\infty} 2^{-y} = \infty$

右側極限と左側極限が一致しないので、この極限は存在しません。

(3) $\lim_{x\to 0} \frac{1}{1 + 2^{\frac{1}{x}}}$

$y = \frac{1}{x}$とおくと、$x \to 0$のとき、$y \to \pm \infty$となります。

$x \to +0$ (右側極限)のとき、$y \to +\infty$なので、

$\lim_{x\to +0} \frac{1}{1 + 2^{\frac{1}{x}}} = \lim_{y\to +\infty} \frac{1}{1 + 2^{y}} = 0$

$x \to -0$ (左側極限)のとき、$y \to -\infty$なので、

$\lim_{x\to -0} \frac{1}{1 + 2^{\frac{1}{x}}} = \lim_{y\to -\infty} \frac{1}{1 + 2^{y}} = \frac{1}{1 + 0} = 1$

右側極限と左側極限が一致しないので、この極限は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{x-2}{x^2 - x} = \infty$

(2) 極限は存在しない

(3) 極限は存在しない