## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

2つの数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

問題12：

$a_1 = 1, a_{n+1} = 3a_n + 4$

問題13：

$a_1 = 1, a_2 = 4, a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n$

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2. 解き方の手順

### 問題12

漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 4$ を変形します。$a_{n+1} - c = 3(a_n - c)$ となるように $c$ を求めます。

$a_{n+1} = 3a_n - 2c$ と $a_{n+1} = 3a_n + 4$ を比較すると、$-2c = 4$ なので $c = -2$。

したがって、$a_{n+1} + 2 = 3(a_n + 2)$ となります。

$b_n = a_n + 2$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は公比 3 の等比数列であることがわかります。

$b_1 = a_1 + 2 = 1 + 2 = 3$ なので、$b_n = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n$。

$a_n = b_n - 2$ なので、$a_n = 3^n - 2$。

### 問題13

漸化式 $a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n$ の特性方程式を立てます。$x^2 = 5x - 6$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

$(x - 2)(x - 3) = 0$

$x = 2, 3$

したがって、$a_{n+2} - 2a_{n+1} = 3(a_{n+1} - 2a_n)$ と $a_{n+2} - 3a_{n+1} = 2(a_{n+1} - 3a_n)$ が成り立ちます。

$b_n = a_{n+1} - 2a_n$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ となり、数列 $\{b_n\}$ は公比 3 の等比数列であることがわかります。

$b_1 = a_2 - 2a_1 = 4 - 2(1) = 2$ なので、$b_n = 2 \cdot 3^{n-1}$。

$c_n = a_{n+1} - 3a_n$ とおくと、$c_{n+1} = 2c_n$ となり、数列 $\{c_n\}$ は公比 2 の等比数列であることがわかります。

$c_1 = a_2 - 3a_1 = 4 - 3(1) = 1$ なので、$c_n = 1 \cdot 2^{n-1} = 2^{n-1}$。

$a_{n+1} - 2a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$ と $a_{n+1} - 3a_n = 2^{n-1}$ の差をとると、$a_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 2^{n-1}$。

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3. 最終的な答え

問題12：

$a_n = 3^n - 2$

問題13：

$a_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 2^{n-1}$