トンネルの長さを求める問題です。トンネルの両端の予定地をA, Bとし、ある地点PからA, Bまでの距離がそれぞれ$AP = 100$ m, $BP = 300$ mであり、$\angle APB = 60^\circ$であるとき、トンネルの長さABを求めます。

1. 問題の内容

トンネルの長さを求める問題です。トンネルの両端の予定地をA, Bとし、ある地点PからA, Bまでの距離がそれぞれ$AP = 100$ m, $BP = 300$ mであり、$\angle APB = 60^\circ$であるとき、トンネルの長さABを求めます。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて、三角形APBにおける辺ABの長さを求めます。

余弦定理は、$AB^2 = AP^2 + BP^2 - 2 \times AP \times BP \times \cos(\angle APB)$で表されます。

この問題では、$AP = 100$, $BP = 300$, $\angle APB = 60^\circ$なので、これらの値を代入します。

$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$なので、

$AB^2 = 100^2 + 300^2 - 2 \times 100 \times 300 \times \frac{1}{2}$

$AB^2 = 10000 + 90000 - 30000$

$AB^2 = 70000$

$AB = \sqrt{70000} = \sqrt{10000 \times 7} = 100\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$100\sqrt{7}$ m