与えられた図において、$\angle A$ の大きさを求める問題です。図には、三角形ABD, 三角形BCDがあります。三角形ABDにおいて、ADの長さは$6\sqrt{7}$、ABの長さは$3\sqrt{7}$であり、三角形BCDにおいて$\angle BDC = 30^\circ$、BCの長さは$7\sqrt{3}$、$\angle BCD = 60^\circ$とあります。

1. 問題の内容

与えられた図において、$\angle A$ の大きさを求める問題です。図には、三角形ABD, 三角形BCDがあります。三角形ABDにおいて、ADの長さは$6\sqrt{7}$、ABの長さは$3\sqrt{7}$であり、三角形BCDにおいて$\angle BDC = 30^\circ$、BCの長さは$7\sqrt{3}$、$\angle BCD = 60^\circ$とあります。

2. 解き方の手順

まず、三角形BCDにおいて、$\angle DBC$を求めます。三角形の内角の和は180°なので、

$\angle DBC = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$

よって、三角形BCDは直角三角形です。

次に、三角形ABDにおいて、BDの長さを求めます。

三角形BCDにおいて、$\sin(\angle BCD)=\frac{BD}{CD}$

$\sin(60^\circ)=\frac{BD}{CD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

また、$\cos(\angle BCD)=\frac{BC}{CD}$

$\cos(60^\circ)=\frac{BC}{CD}=\frac{1}{2}$

よって、$CD = 2 \times BC = 2 \times 7\sqrt{3} = 14\sqrt{3}$

したがって、$BD = CD \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 14\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 14 \times \frac{3}{2} = 21$

三角形ABDにおいて、ABの長さは$3\sqrt{7}$、ADの長さは$6\sqrt{7}$、BDの長さは21とわかりました。

ここで、余弦定理を用いて、$\angle A$を求めます。

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \times AB \times AD \times \cos(\angle A)$

$21^2 = (3\sqrt{7})^2 + (6\sqrt{7})^2 - 2 \times 3\sqrt{7} \times 6\sqrt{7} \times \cos(\angle A)$

$441 = 63 + 252 - 252 \times \cos(\angle A)$

$441 = 315 - 36\sqrt{7}\times6\sqrt{7} \times \cos(\angle A)$

$441 - 315 = -252 \cos(\angle A)$

$126 = -252 \cos(\angle A)$

$\cos(\angle A) = -\frac{126}{252} = -\frac{1}{2}$

したがって、$\angle A = 120^\circ$

3. 最終的な答え

$\angle A = 120^\circ$