与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列は、 $S = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$ で与えられます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列は、

$S = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$

で与えられます。

2. 解き方の手順

この数列の各項は部分分数分解できることに着目します。一般項 $\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$ を部分分数分解すると、

$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{A}{3n-2} + \frac{B}{3n+1}$

とおきます。両辺に $(3n-2)(3n+1)$ をかけると、

$1 = A(3n+1) + B(3n-2)$

となります。この式が任意の $n$ で成り立つように $A$ と $B$ を定めます。

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $1 = A(3(\frac{2}{3})+1) + B(0)$ より $1 = 3A$, よって $A = \frac{1}{3}$ です。

$n = -\frac{1}{3}$ のとき、 $1 = A(0) + B(3(-\frac{1}{3})-2)$ より $1 = -3B$, よって $B = -\frac{1}{3}$ です。

したがって、

$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right)$

と部分分数分解できます。

この結果を用いて、和 $S$ を計算します。

$S = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{10} \right) + \dots + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right)$

$= \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{10} + \dots + \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right)$

$= \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{3n+1} \right)$

$= \frac{1}{3} \left( \frac{3n+1-1}{3n+1} \right)$

$= \frac{1}{3} \left( \frac{3n}{3n+1} \right)$

$= \frac{n}{3n+1}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{n}{3n+1}$