次の3つの極限を求める問題です。ここで、$[x]$ は $x$ を超えない最大の整数（ガウス記号）を表します。 (1) $\lim_{x \to 2} [x]$ (2) $\lim_{x \to 1} (2x - [x])$ (3) $\lim_{x \to 1} ([2x] - [x])$

1. 問題の内容

次の3つの極限を求める問題です。ここで、$[x]$ は $x$ を超えない最大の整数（ガウス記号）を表します。

(1) $\lim_{x \to 2} [x]$

(2) $\lim_{x \to 1} (2x - [x])$

(3) $\lim_{x \to 1} ([2x] - [x])$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 2} [x]$ について

$x$ が 2 に近づくとき、$x$ を超えない最大の整数 $[x]$ は 2 に近づきます。

厳密には、左側極限と右側極限を考える必要があります。

$x \to 2^{-}$ のとき、$[x] \to 1$ または 2 までの整数値を取ります。具体的には、$1.99$ などの場合、$[x] = 1$ となります。 しかし，$x \to 2$ なので、$x < 2$ でも $x$ は2に近い値をとり、$[x]$ は1ではなく、$2$ に近い整数値を取るので、$1$ ではありません。$[x] = 1$となるのは$x < 1$ の場合です。

$x \to 2^{+}$ のとき、$[x] \to 2$ です。

したがって、$x \to 2$ のとき、$[x] \to 2$となります。

(2) $\lim_{x \to 1} (2x - [x])$ について

$x$ が 1 に近づくとき、$2x$ は 2 に近づき、$[x]$ は 1 に近づきます。

したがって、$2x - [x]$ は $2 - 1 = 1$ に近づきます。

(3) $\lim_{x \to 1} ([2x] - [x])$ について

$x$ が 1 に近づくとき、$2x$ は 2 に近づき、$[2x]$ は 2 に近づきます。また、$[x]$ は 1 に近づきます。

したがって、$[2x] - [x]$ は $2 - 1 = 1$ に近づきます。

厳密には、左側極限と右側極限を考える必要があります。

$x \to 1^{-}$ のとき、$[2x] \to 1$ か $2$ であり、$[x] \to 0$ か $1$です。例えば、$x=0.9$ の場合、$[2x]=[1.8]=1$, $[x] = [0.9]=0$ なので、$[2x]-[x] = 1 - 0 = 1$となります。

$x \to 1^{+}$ のとき、$x=1.1$ の場合、$[2x] = [2.2] = 2$ であり、$[x] = [1.1]=1$なので、$[2x]-[x] = 2-1 = 1$となります。

したがって、$x \to 1$ のとき、$[2x] - [x] \to 1$となります。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to 2} [x] = 2$

(2) $\lim_{x \to 1} (2x - [x]) = 1$

(3) $\lim_{x \to 1} ([2x] - [x]) = 1$