1から49までの奇数を順に並べた表がある。同じ段で隣り合う2つの奇数において、大きい方の奇数の2乗から小さい方の奇数の2乗を引いた差が40で割り切れることを証明する。

1. 問題の内容

1から49までの奇数を順に並べた表がある。同じ段で隣り合う2つの奇数において、大きい方の奇数の2乗から小さい方の奇数の2乗を引いた差が40で割り切れることを証明する。

2. 解き方の手順

表のn段目の左からm番目の奇数は、$2(5(n-1) + m) - 1 = 10n + 2m - 12$と表せる。

同じ段で隣り合う2つの奇数において、小さい方を$10n + 2m - 12$、大きい方を$10n + 2(m+1) - 12 = 10n + 2m - 10$とする。

このとき、大きい方の奇数の2乗から小さい方の奇数の2乗を引いた差は、

$(10n + 2m - 10)^2 - (10n + 2m - 12)^2$

$= (10n + 2m - 10 + 10n + 2m - 12)(10n + 2m - 10 - (10n + 2m - 12))$

$= (20n + 4m - 22)(2)$

$= 40n + 8m - 44$

$= 40n + 8m - 40 - 4$

$= 40(n - 1) + 8m -4$

これは40で割り切れないように見える。表の奇数列に規則性があるか確認する。

表のn段目の左からm番目の奇数は、$10(n-1)+2m-1$と表せる。

同じ段で隣り合う2つの奇数において、小さい方を$10(n-1)+2m-1$、大きい方を$10(n-1)+2(m+1)-1 = 10(n-1)+2m+1$とする。

このとき、大きい方の奇数の2乗から小さい方の奇数の2乗を引いた差は、

$(10(n-1)+2m+1)^2 - (10(n-1)+2m-1)^2$

$= (10(n-1)+2m+1 + 10(n-1)+2m-1)(10(n-1)+2m+1 - (10(n-1)+2m-1))$

$= (20(n-1)+4m)(2)$

$= 40(n-1) + 8m$

$= 40n - 40 + 8m$

$= 4(10n - 10 + 2m)$

各段の奇数の差が10なので、隣り合う奇数を$x, x+10$とおく。

このとき、$(x+10)^2 - x^2 = x^2+20x+100 - x^2 = 20x + 100 = 20(x+5)$

奇数は1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...なので、$x+5$が偶数になる。

$20(x+5) = 40(\frac{x+5}{2})$。よって、40で割り切れる。

3. 最終的な答え

同じ段で隣り合う奇数を$x, x+10$とおくと、大きい方の奇数の2乗から小さい方の奇数の2乗を引いた差は$20(x+5)$となる。$x$は奇数なので、$x+5$は偶数である。したがって、$\frac{x+5}{2}$は整数となるため、$20(x+5) = 40(\frac{x+5}{2})$は40で割り切れる。