与えられた関数 $y = \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$ の導関数 $y'$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$ の導関数 $y'$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数を書き換えて、合成関数の微分を行う。

$y = (4-x^2)^{-1/2}$ と書き換える。

次に、合成関数の微分公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を用いる。

$u = 4-x^2$ とおくと、$y = u^{-1/2}$ となる。

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{2}u^{-3/2}$

$\frac{du}{dx} = -2x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}u^{-3/2} \cdot (-2x)$

$\frac{dy}{dx} = x u^{-3/2}$

$\frac{dy}{dx} = x (4-x^2)^{-3/2}$

これを整理すると

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{(4-x^2)^{3/2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{\sqrt{(4-x^2)^3}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{x}{\sqrt{(4-x^2)^3}}$