(1) 2つのベクトル $\vec{a} = (x+1, x)$ と $\vec{b} = (x, x-2)$ が垂直になるような $x$ の値を求める。 (2) ベクトル $\vec{a} = (1, -3)$ に垂直である単位ベクトルを求める。

1. 問題の内容

(1) 2つのベクトル $\vec{a} = (x+1, x)$ と $\vec{b} = (x, x-2)$ が垂直になるような $x$ の値を求める。

(2) ベクトル $\vec{a} = (1, -3)$ に垂直である単位ベクトルを求める。

2. 解き方の手順

(1) 2つのベクトルが垂直であるとき、それらの内積は0になる。したがって、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ となる $x$ を求める。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (x+1)x + x(x-2) = x^2 + x + x^2 - 2x = 2x^2 - x$

$2x^2 - x = 0$

$x(2x - 1) = 0$

$x = 0$ または $x = \frac{1}{2}$

(2) ベクトル $\vec{a} = (1, -3)$ に垂直なベクトルを $\vec{v} = (x, y)$ とすると、$\vec{a} \cdot \vec{v} = 0$ である。

$1 \cdot x + (-3) \cdot y = 0$

$x - 3y = 0$

$x = 3y$

したがって、$\vec{v} = (3y, y)$ と表せる。単位ベクトルであるためには、ベクトルの大きさが1である必要がある。

$|\vec{v}| = \sqrt{(3y)^2 + y^2} = \sqrt{9y^2 + y^2} = \sqrt{10y^2} = \sqrt{10}|y| = 1$

$|y| = \frac{1}{\sqrt{10}}$

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}$

$y = \frac{1}{\sqrt{10}}$ のとき、$x = 3y = \frac{3}{\sqrt{10}}$

$y = -\frac{1}{\sqrt{10}}$ のとき、$x = 3y = -\frac{3}{\sqrt{10}}$

したがって、求める単位ベクトルは $(\frac{3}{\sqrt{10}}, \frac{1}{\sqrt{10}})$ または $(-\frac{3}{\sqrt{10}}, -\frac{1}{\sqrt{10}})$ となる。

有理化すると $(\frac{3\sqrt{10}}{10}, \frac{\sqrt{10}}{10})$ または $(-\frac{3\sqrt{10}}{10}, -\frac{\sqrt{10}}{10})$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $x = 0, \frac{1}{2}$

(2) $(\frac{3\sqrt{10}}{10}, \frac{\sqrt{10}}{10})$, $(-\frac{3\sqrt{10}}{10}, -\frac{\sqrt{10}}{10})$