ベクトル $\vec{a} = (x, 1)$ と $\vec{b} = (2, 3)$ が与えられています。$\vec{a} + \vec{b}$ と $2\vec{a} - \vec{b}$ が平行になるように、$x$ の値を求めます。

## 問題2

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (x, 1)$ と $\vec{b} = (2, 3)$ が与えられています。$\vec{a} + \vec{b}$ と $2\vec{a} - \vec{b}$ が平行になるように、$x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$\vec{a} + \vec{b}$ と $2\vec{a} - \vec{b}$ が平行であるとき、ある実数 $k$ が存在して、

$$2\vec{a} - \vec{b} = k(\vec{a} + \vec{b})$$

と表すことができます。

$\vec{a} + \vec{b} = (x+2, 1+3) = (x+2, 4)$

$2\vec{a} - \vec{b} = 2(x, 1) - (2, 3) = (2x, 2) - (2, 3) = (2x-2, 2-3) = (2x-2, -1)$

よって、

$(2x-2, -1) = k(x+2, 4)$

これから、以下の2つの式を得ます。

$2x - 2 = k(x+2)$ (1)

$-1 = 4k$ (2)

式(2)より、$k = -\frac{1}{4}$

これを式(1)に代入して、

$2x - 2 = -\frac{1}{4}(x+2)$

両辺に4を掛けて、

$8x - 8 = -(x+2)$

$8x - 8 = -x - 2$

$9x = 6$

$x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{2}{3}$

## 問題3

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (4, 2)$, $\vec{b} = (3, -1)$, $\vec{x} = (p, q)$ が与えられています。$\vec{x}$ と $\vec{b} - \vec{a}$ が平行であり、$\vec{x} - \vec{b}$ と $\vec{a}$ が垂直であるとき、$p$ と $q$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$\vec{b} - \vec{a} = (3, -1) - (4, 2) = (-1, -3)$

$\vec{x}$ と $\vec{b} - \vec{a}$ が平行なので、ある実数 $k$ が存在して、

$\vec{x} = k(\vec{b} - \vec{a})$

$(p, q) = k(-1, -3) = (-k, -3k)$

よって、

$p = -k$

$q = -3k$

次に、$\vec{x} - \vec{b} = (p, q) - (3, -1) = (p-3, q+1)$

$\vec{x} - \vec{b}$ と $\vec{a}$ が垂直なので、内積は0となります。

$(\vec{x} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$

$(p-3, q+1) \cdot (4, 2) = 0$

$4(p-3) + 2(q+1) = 0$

$4p - 12 + 2q + 2 = 0$

$4p + 2q - 10 = 0$

$2p + q - 5 = 0$

$p = -k$ と $q = -3k$ を代入して、

$2(-k) + (-3k) - 5 = 0$

$-2k - 3k - 5 = 0$

$-5k = 5$

$k = -1$

したがって、

$p = -k = -(-1) = 1$

$q = -3k = -3(-1) = 3$

3. 最終的な答え

$p = 1$, $q = 3$