$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $4:3$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $3:1$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とするとき、$\vec{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表す。ここで、$\vec{OA}=\vec{a}$、$\vec{OB}=\vec{b}$ とする。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $4:3$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $3:1$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とするとき、$\vec{OP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ を用いて表す。ここで、$\vec{OA}=\vec{a}$、$\vec{OB}=\vec{b}$ とする。

2. 解き方の手順

$AP:PD = s:(1-s)$ とすると、

$$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OD}$$

$\vec{OD} = \frac{3}{4}\vec{OB} = \frac{3}{4}\vec{b}$ より、

$$\vec{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{3}{4}s\vec{b} \quad \cdots ①$$

$BP:PC = t:(1-t)$ とすると、

$$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OC}$$

$\vec{OC} = \frac{4}{7}\vec{OA} = \frac{4}{7}\vec{a}$ より、

$$\vec{OP} = \frac{4}{7}t\vec{a} + (1-t)\vec{b} \quad \cdots ②$$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、①と②の係数を比較して、

$$1-s = \frac{4}{7}t$$

$$\frac{3}{4}s = 1-t$$

これらを解く。2番目の式を $t$ について解くと、

$$t = 1 - \frac{3}{4}s$$

これを1番目の式に代入して、

$$1-s = \frac{4}{7}(1 - \frac{3}{4}s)$$

$$1-s = \frac{4}{7} - \frac{3}{7}s$$

$$7 - 7s = 4 - 3s$$

$$3 = 4s$$

$$s = \frac{3}{4}$$

これを $t = 1 - \frac{3}{4}s$ に代入して、

$$t = 1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$$

したがって、①に $s = \frac{3}{4}$ を代入して、

$$\vec{OP} = (1-\frac{3}{4})\vec{a} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \vec{b} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{9}{16}\vec{b}$$

②に $t = \frac{7}{16}$ を代入して、

$$\vec{OP} = \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{16} \vec{a} + (1 - \frac{7}{16}) \vec{b} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{9}{16}\vec{b}$$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{9}{16}\vec{b}$