(1) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。 (2) $\triangle ABC$ において、$AB = 2\sqrt{5}$、$AC = 3$、$B = 30^\circ$、Cは鋭角であるとき、$\sin C$、$\cos C$、および $BC$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めよ。

(2) $\triangle ABC$ において、$AB = 2\sqrt{5}$、$AC = 3$、$B = 30^\circ$、Cは鋭角であるとき、$\sin C$、$\cos C$、および $BC$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ なので、$\sin \theta \ge 0$ であるから、

$\sin \theta = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{2}{-\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(2)

正弦定理より、

$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$

$\frac{3}{\sin 30^\circ} = \frac{2\sqrt{5}}{\sin C}$

$\frac{3}{1/2} = \frac{2\sqrt{5}}{\sin C}$

$6 = \frac{2\sqrt{5}}{\sin C}$

$\sin C = \frac{2\sqrt{5}}{6} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\cos^2 C = 1 - \sin^2 C = 1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$

Cは鋭角なので、$\cos C > 0$ であるから、

$\cos C = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$

余弦定理より、

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC \cdot BC \cdot \cos C$

$(2\sqrt{5})^2 = 3^2 + BC^2 - 2 \cdot 3 \cdot BC \cdot \frac{2}{3}$

$20 = 9 + BC^2 - 4BC$

$BC^2 - 4BC - 11 = 0$

$BC = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-11)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 44}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{15}}{2} = 2 \pm \sqrt{15}$

$BC > 0$ より、$BC = 2 + \sqrt{15}$

3. 最終的な答え

(1)

$\sin \theta = \frac{2}{3}$

$\tan \theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(2)

$\sin C = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\cos C = \frac{2}{3}$

$BC = 2 + \sqrt{15}$