$\triangle OAB$ において、辺 $OB$ の中点を $M$、辺 $AB$ を $1:2$ に内分する点を $C$、辺 $OA$ を $2:3$ に内分する点を $D$ とし、線分 $CM$ と線分 $BD$ の交点を $P$ とする。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) $\vec{OP}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ を用いて表せ。 (2) 直線 $OP$ と辺 $AB$ の交点を $Q$ とするとき、$AQ:QB$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OB$ の中点を $M$、辺 $AB$ を $1:2$ に内分する点を $C$、辺 $OA$ を $2:3$ に内分する点を $D$ とし、線分 $CM$ と線分 $BD$ の交点を $P$ とする。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) $\vec{OP}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ を用いて表せ。

(2) 直線 $OP$ と辺 $AB$ の交点を $Q$ とするとき、$AQ:QB$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点 $P$ は線分 $CM$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OC} + s\vec{OM}$

と表せる。ここで、点 $C$ は線分 $AB$ を $1:2$ に内分する点なので、

$\vec{OC} = \frac{2\vec{OA} + 1\vec{OB}}{1+2} = \frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3}$

また、点 $M$ は線分 $OB$ の中点なので、

$\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{OB} = \frac{1}{2}\vec{b}$

したがって、

$\vec{OP} = (1-s)\frac{2\vec{a} + \vec{b}}{3} + s\frac{1}{2}\vec{b} = \frac{2(1-s)}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}(1-s + \frac{3}{2}s)\vec{b} = \frac{2(1-s)}{3}\vec{a} + \frac{2+s}{6}\vec{b}$

一方、点 $P$ は線分 $BD$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OD}$

と表せる。ここで、点 $D$ は線分 $OA$ を $2:3$ に内分する点なので、

$\vec{OD} = \frac{2}{5}\vec{OA} = \frac{2}{5}\vec{a}$

したがって、

$\vec{OP} = (1-t)\vec{b} + t\frac{2}{5}\vec{a} = \frac{2t}{5}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$\frac{2(1-s)}{3} = \frac{2t}{5}$

$\frac{2+s}{6} = 1-t$

整理すると

$5(1-s) = 3t$

$2+s = 6(1-t)$

$5 - 5s = 3t$

$2+s = 6 - 6t$

$s = 4-6t$

$5 - 5(4-6t) = 3t$

$5 - 20 + 30t = 3t$

$27t = 15$

$t = \frac{15}{27} = \frac{5}{9}$

$s = 4 - 6(\frac{5}{9}) = 4 - \frac{10}{3} = \frac{12-10}{3} = \frac{2}{3}$

よって、

$\vec{OP} = \frac{2t}{5}\vec{a} + (1-t)\vec{b} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{9}\vec{a} + (1-\frac{5}{9})\vec{b} = \frac{2}{9}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{b}$

(2) 点 $Q$ は直線 $OP$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて

$\vec{OQ} = k\vec{OP} = k(\frac{2}{9}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{b}) = \frac{2k}{9}\vec{a} + \frac{4k}{9}\vec{b}$

点 $Q$ は線分 $AB$ 上にあるので、実数 $l$ を用いて

$\vec{OQ} = (1-l)\vec{OA} + l\vec{OB} = (1-l)\vec{a} + l\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$\frac{2k}{9} = 1-l$

$\frac{4k}{9} = l$

$\frac{2k}{9} = 1 - \frac{4k}{9}$

$\frac{6k}{9} = 1$

$k = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

$l = \frac{4k}{9} = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2}{3}$

$\vec{OQ} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b}}{3}$

点 $Q$ は線分 $AB$ を $2:1$ に内分するので、

$AQ:QB = 2:1$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OP} = \frac{2}{9}\vec{a} + \frac{4}{9}\vec{b}$

(2) $AQ:QB = 2:1$