三角形ABCにおいて、辺ABを1:2に内分する点をP、辺CAを4:3に内分する点をQとします。線分BQと線分CPの交点をRとし、直線ARと辺BCの交点をSとするとき、BS:SCと△APR:△ABCを求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを1:2に内分する点をP、辺CAを4:3に内分する点をQとします。線分BQと線分CPの交点をRとし、直線ARと辺BCの交点をSとするとき、BS:SCと△APR:△ABCを求めます。

2. 解き方の手順

まず、チェバの定理を用いてBS:SCを求めます。チェバの定理とは、三角形ABCの辺AB, BC, CA上にそれぞれ点P, S, Qがあるとき、3直線AS, BQ, CPが一点で交わるための必要十分条件は、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BS}{SC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

が成り立つことです。

この問題ではAP:PB = 1:2、CQ:QA = 3:4なので、

$\frac{AP}{PB} = \frac{1}{2}$、$\frac{CQ}{QA} = \frac{3}{4}$となります。

チェバの定理に代入すると、

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BS}{SC} \cdot \frac{3}{4} = 1$

$\frac{BS}{SC} = \frac{8}{3}$

したがって、BS:SC = 8:3となります。

次に、メネラウスの定理を用いてAR:RSを求めます。メネラウスの定理とは、三角形BCSにおいて、直線ARが辺BC, CS, SBまたはそれらの延長とそれぞれS, A, Rで交わるとき、

$\frac{BR}{RQ} \cdot \frac{QA}{AC} \cdot \frac{CS}{SB} = 1$

または

$\frac{CA}{AQ} \cdot \frac{QR}{RB} \cdot \frac{BS}{SC} = 1$

です。

三角形ACSと直線BQに着目すると

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BS}{SC} \cdot \frac{CQ}{QA}=1$

$\frac{AB}{BP}\cdot \frac{PR}{RC}\cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{3}{2}\cdot \frac{QR}{RB} \cdot \frac{3}{4} = 1$

$\frac{QR}{RB} = \frac{8}{9}$

したがって、BQ:QR:RB = 17:8:9

$\frac{AS}{SR}$を求めるために、メネラウスの定理を三角形ABCと直線ARに適用する。

$\frac{BS}{SC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AP}{PB} = 1$

$\frac{AC}{CQ}\cdot \frac{QR}{RB}\cdot \frac{BS}{SC} = 1$

次に、△APR:△ABCを計算します。

$\frac{AR}{AS} = \frac{17}{25}$

$\frac{AP}{AB} = \frac{1}{3}$

$\frac{AQ}{AC} = \frac{4}{7}$

△ABCの面積をSとすると、

$\triangle ABR = \frac{9}{17}ABQ$

$\triangle APR = \frac{AR}{AS} \cdot \frac{AP}{AB} \cdot \triangle ABS$

$\triangle ABC = S$とすると、

$\triangle ABS = \frac{BS}{BC}S = \frac{8}{11}S$

$\triangle APR = \frac{AR}{AS} \cdot \frac{AP}{AB} \cdot \triangle ABS = \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{11}S$

$= \frac{1}{3}\frac{AR}{AS} \cdot \triangle ABC$

$\frac{AR}{AS}$を求めるためにメネラウスの定理を適用する。

$\triangle ABS = \frac{8}{11} S$

$\triangle APR = \frac{AP}{AB}\cdot \frac{AQ}{AC}\cdot \frac{AB*AC - AR*AS}{S} = \frac{1}{3} \frac{4}{7} \triangle ARS$

$\triangle APR = \frac{AR}{AS} \frac{AP}{AB}\frac{AQ}{AC} \triangle ABC$

$= \frac{17}{25}\cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7} = \frac{68}{525}$

$\triangle APR : \triangle ABC = 68:525$

3. 最終的な答え

BS:SC = 8:3

△APR:△ABC = 68:525