複素数 $\alpha = 1 + 2\sqrt{2}i$ と $\beta = 4 - 3i$ が与えられたとき、以下の値を求める。 (1) $|\alpha|^4$ (2) $|\alpha\beta|^2$ (3) $|\frac{1}{\alpha\beta}|$ (4) $|\frac{\beta^2}{\alpha^3}|$

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = 1 + 2\sqrt{2}i$ と $\beta = 4 - 3i$ が与えられたとき、以下の値を求める。

(1) $|\alpha|^4$

(2) $|\alpha\beta|^2$

(3) $|\frac{1}{\alpha\beta}|$

(4) $|\frac{\beta^2}{\alpha^3}|$

2. 解き方の手順

(1) $|\alpha|^4$ を求める。

まず、$|\alpha|$ を計算する。$|\alpha| = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3$。

したがって、$|\alpha|^4 = 3^4 = 81$。

(2) $|\alpha\beta|^2$ を求める。

$|\alpha\beta| = |\alpha||\beta|$ である。

$|\alpha| = 3$ (上記で計算済み)。

$|\beta| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。

したがって、$|\alpha\beta| = 3 \times 5 = 15$。

$|\alpha\beta|^2 = 15^2 = 225$。

(3) $|\frac{1}{\alpha\beta}|$ を求める。

$|\frac{1}{\alpha\beta}| = \frac{1}{|\alpha\beta|}$ である。

$|\alpha\beta| = 15$ (上記で計算済み)。

したがって、$|\frac{1}{\alpha\beta}| = \frac{1}{15}$。

(4) $|\frac{\beta^2}{\alpha^3}|$ を求める。

$|\frac{\beta^2}{\alpha^3}| = \frac{|\beta^2|}{|\alpha^3|} = \frac{|\beta|^2}{|\alpha|^3}$ である。

$|\alpha| = 3$ (上記で計算済み)。

$|\beta| = 5$ (上記で計算済み)。

したがって、$|\frac{\beta^2}{\alpha^3}| = \frac{5^2}{3^3} = \frac{25}{27}$。

3. 最終的な答え

(1) $|\alpha|^4 = 81$

(2) $|\alpha\beta|^2 = 225$

(3) $|\frac{1}{\alpha\beta}| = \frac{1}{15}$

(4) $|\frac{\beta^2}{\alpha^3}| = \frac{25}{27}$