画像にある2つの問題について、それぞれ計算を行う問題です。1つ目の問題は与えられた式を計算し、2つ目の問題は与えられた式の分母を有理化します。

1. 問題の内容

画像にある2つの問題について、それぞれ計算を行う問題です。1つ目の問題は与えられた式を計算し、2つ目の問題は与えられた式の分母を有理化します。

2. 解き方の手順

**問題2:**

(1) $\sqrt{(-3)^2} + (-\sqrt{3})^2$

$\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$

$(-\sqrt{3})^2 = 3$

したがって、

$3 + 3 = 6$

(2) $\sqrt{2} \times \sqrt{12} \times 3\sqrt{3}$

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

したがって、

$\sqrt{2} \times 2\sqrt{3} \times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{2} \times 3 = 18\sqrt{2}$

(3) $(\sqrt{3} + 2\sqrt{5})(3\sqrt{3} - \sqrt{5})$

展開して計算します。

$(\sqrt{3} + 2\sqrt{5})(3\sqrt{3} - \sqrt{5}) = \sqrt{3} \times 3\sqrt{3} - \sqrt{3} \times \sqrt{5} + 2\sqrt{5} \times 3\sqrt{3} - 2\sqrt{5} \times \sqrt{5}$

$= 9 - \sqrt{15} + 6\sqrt{15} - 10$

$= -1 + 5\sqrt{15}$

(4) $(\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 2)$

和と差の積の公式を利用します。

$(\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 2) = (\sqrt{6})^2 - 2^2 = 6 - 4 = 2$

**問題3:**

(1) $\frac{3}{\sqrt{8}}$

$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$\frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2 \times 2} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{5} - 2}$

分母を有理化するために、$\sqrt{5}+2$ を分子と分母にかけます。

$\frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \frac{1}{\sqrt{5} - 2} \times \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{5 - 4} = \sqrt{5} + 2$

(3) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{3}}$

分母を有理化するために、$\sqrt{6}-\sqrt{3}$ を分子と分母にかけます。

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{3})^2}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2}$

$= \frac{6 - 2\sqrt{18} + 3}{6 - 3} = \frac{9 - 2\sqrt{9 \times 2}}{3} = \frac{9 - 2 \times 3\sqrt{2}}{3} = \frac{9 - 6\sqrt{2}}{3} = 3 - 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

**問題2:**

(1) 6

(2) $18\sqrt{2}$

(3) $-1 + 5\sqrt{15}$

(4) 2

**問題3:**

(1) $\frac{3\sqrt{2}}{4}$

(2) $\sqrt{5} + 2$

(3) $3 - 2\sqrt{2}$