与えられた問題は、以下の3つの小問から構成されています。 (1) 中心が直線 $y = x + 3$ 上にあり、2点 $(2, 8)$ と $(-1, 5)$ を通る円の方程式を求める。 (2) 点 $(3, 1)$ と直線 $4x - 3y - 5 = 0$ の距離を求める。 (3) 不等式 $4^x - 3 \cdot 2^x - 4 > 0$ を解く。 (4) 方程式 $\log_2(x-6) + \log_2(x-2) = 5$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の3つの小問から構成されています。

(1) 中心が直線 $y = x + 3$ 上にあり、2点 $(2, 8)$ と $(-1, 5)$ を通る円の方程式を求める。

(2) 点 $(3, 1)$ と直線 $4x - 3y - 5 = 0$ の距離を求める。

(3) 不等式 $4^x - 3 \cdot 2^x - 4 > 0$ を解く。

(4) 方程式 $\log_2(x-6) + \log_2(x-2) = 5$ を解く。

2. 解き方の手順

(1)

円の中心を $(a, a+3)$ とおく。円の方程式は $(x-a)^2 + (y-(a+3))^2 = r^2$ と表せる。

2点 $(2, 8)$ と $(-1, 5)$ が円周上にあるので、

$(2-a)^2 + (8-a-3)^2 = r^2$

$(-1-a)^2 + (5-a-3)^2 = r^2$

よって、$(2-a)^2 + (5-a)^2 = (-1-a)^2 + (2-a)^2$

$4 - 4a + a^2 + 25 - 10a + a^2 = 1 + 2a + a^2 + 4 - 4a + a^2$

$29 - 14a + 2a^2 = 5 - 2a + 2a^2$

$24 = 12a$

$a = 2$

円の中心は $(2, 5)$ である。

$r^2 = (2-2)^2 + (8-5)^2 = 0 + 9 = 9$

したがって、円の方程式は $(x-2)^2 + (y-5)^2 = 9$ となる。

(2)

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ で求められる。

この問題では、$(x_0, y_0) = (3, 1)$ であり、直線は $4x - 3y - 5 = 0$ であるから、

$d = \frac{|4(3) - 3(1) - 5|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|12 - 3 - 5|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|4|}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}$

(3)

$4^x - 3 \cdot 2^x - 4 > 0$

$(2^x)^2 - 3 \cdot 2^x - 4 > 0$

$2^x = t$ とおくと、$t^2 - 3t - 4 > 0$

$(t - 4)(t + 1) > 0$

$t < -1$ または $t > 4$

$2^x < -1$ はありえないので、$2^x > 4$

$2^x > 2^2$

$x > 2$

(4)

$\log_2(x-6) + \log_2(x-2) = 5$

$\log_2((x-6)(x-2)) = 5$

$(x-6)(x-2) = 2^5$

$x^2 - 8x + 12 = 32$

$x^2 - 8x - 20 = 0$

$(x - 10)(x + 2) = 0$

$x = 10, -2$

真数条件より、$x-6 > 0$ かつ $x-2 > 0$ である必要があるので、$x > 6$。

したがって、$x = 10$

3. 最終的な答え

(1) ア: 2, イ: 5, ウ: 9

(2) エ: 4, オ: 5

(3) カ: 2

(4) キク: 10