関数 $y = x^2 - 2ax$ （$0 \le x \le 3$）の最小値を求める問題について、(1) Kさんの解答の誤りを指摘し、(2) 正しい最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2ax$ （$0 \le x \le 3$）の最小値を求める問題について、(1) Kさんの解答の誤りを指摘し、(2) 正しい最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) Kさんの解答の誤りの指摘

Kさんの解答は、$y = x^2 - 2ax = (x-a)^2 - a^2$ と平方完成するところまでは正しいです。しかし、定義域 $0 \le x \le 3$ を考慮していません。軸 $x=a$ がこの範囲に入っているかどうかで場合分けが必要です。$x=a$ で最小値 $-a^2$ をとるのは、$0 \le a \le 3$ の場合のみです。

(2) 最小値を求める手順

$y = x^2 - 2ax = (x-a)^2 - a^2$

軸は $x = a$

定義域は $0 \le x \le 3$

場合分け：

i) $a < 0$ のとき

区間 $[0, 3]$ で $x$ が増加すると、$y$ も増加する。

よって、$x = 0$ で最小値をとる。

$y(0) = 0^2 - 2a(0) = 0$

ii) $0 \le a \le 3$ のとき

軸 $x = a$ が区間 $[0, 3]$ に含まれるので、$x = a$ で最小値をとる。

$y(a) = a^2 - 2a(a) = -a^2$

iii) $a > 3$ のとき

区間 $[0, 3]$ で $x$ が増加すると、$y$ は減少する。

よって、$x = 3$ で最小値をとる。

$y(3) = 3^2 - 2a(3) = 9 - 6a$

まとめると、

$a < 0$ のとき、最小値は $0$

$0 \le a \le 3$ のとき、最小値は $-a^2$

$a > 3$ のとき、最小値は $9 - 6a$

3. 最終的な答え

(1) Kさんの解答の誤り：定義域を考慮していない。

(2) 最小値：

$a < 0$ のとき、$0$

$0 \le a \le 3$ のとき、$-a^2$

$a > 3$ のとき、$9 - 6a$