複素数平面上の点 $z$ が、与えられた複素数を掛けることによって、どのように移動するかを答える問題です。具体的には、以下の2つの場合について考えます。 (1) $(1-i)z$ (2) $(-1+\sqrt{3}i)z$

1. 問題の内容

複素数平面上の点 $z$ が、与えられた複素数を掛けることによって、どのように移動するかを答える問題です。具体的には、以下の2つの場合について考えます。

(1) $(1-i)z$

(2) $(-1+\sqrt{3}i)z$

2. 解き方の手順

複素数 $z$ に複素数 $w$ を掛ける操作は、複素数平面上では原点を中心とする回転と拡大(縮小)に対応します。

複素数 $w = a + bi$ を極形式 $r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ で表すと、

* $r = |w| = \sqrt{a^2 + b^2}$ は拡大(縮小)率を表します。

* $\theta = \arg w$ は回転角を表します。

したがって、与えられた複素数 $w$ を極形式で表すことで、点 $z$ がどのように移動するかを決定できます。

(1) $w = 1-i$ の場合：

$r = |1-i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

$\theta = \arg(1-i) = -\frac{\pi}{4}$

したがって、$1-i = \sqrt{2} (\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})) = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$ となります。

点 $z$ は、原点を中心に $-\frac{\pi}{4}$ (または反時計回りに$\frac{7\pi}{4}$)回転し、原点からの距離が $\sqrt{2}$ 倍に拡大されます。

(2) $w = -1+\sqrt{3}i$ の場合：

$r = |-1+\sqrt{3}i| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$

$\theta = \arg(-1+\sqrt{3}i) = \frac{2\pi}{3}$

したがって、$w = -1+\sqrt{3}i = 2(\cos(\frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{2\pi}{3})) = 2e^{i\frac{2\pi}{3}}$となります。

点 $z$ は、原点を中心に $\frac{2\pi}{3}$ 回転し、原点からの距離が $2$ 倍に拡大されます。

3. 最終的な答え

(1) 点 $z$ は、原点を中心に $-\frac{\pi}{4}$ 回転し、$\sqrt{2}$倍に拡大される。

(2) 点 $z$ は、原点を中心に $\frac{2\pi}{3}$ 回転し、$2$倍に拡大される。