$ \frac{x+y}{2} = \frac{y+z}{5} = \frac{z+x}{7} $ のとき、$\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{x+y}{2} = \frac{y+z}{5} = \frac{z+x}{7}$ のとき、$\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{x+y}{2} = \frac{y+z}{5} = \frac{z+x}{7} = k$ とおく。すると、

$x+y = 2k$

$y+z = 5k$

$z+x = 7k$

となる。

これらの式をすべて足すと、

$(x+y) + (y+z) + (z+x) = 2k + 5k + 7k$

$2(x+y+z) = 14k$

$x+y+z = 7k$

となる。

次に、$x+y+z = 7k$ から上記の３つの式をそれぞれ引く。

$x+y+z - (x+y) = 7k - 2k \Rightarrow z = 5k$

$x+y+z - (y+z) = 7k - 5k \Rightarrow x = 2k$

$x+y+z - (z+x) = 7k - 7k \Rightarrow y = 0k = 0$

したがって、$x = 2k$, $y = 0$, $z = 5k$ となる。

これらの値を $\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}$ に代入する。

$xy+yz+zx = (2k)(0) + (0)(5k) + (5k)(2k) = 0 + 0 + 10k^2 = 10k^2$

$x^2+y^2+z^2 = (2k)^2 + (0)^2 + (5k)^2 = 4k^2 + 0 + 25k^2 = 29k^2$

よって、

$\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2} = \frac{10k^2}{29k^2} = \frac{10}{29}$

3. 最終的な答え

$\frac{10}{29}$