与えられた式が $x$ についての恒等式となるように、$a, b, c$ の値を求める問題です。問題の式は以下です。 $\frac{2}{(x+2)(4x^2+7x+2)} = \frac{a}{x+2} + \frac{bx+c}{4x^2+7x+2}$

1. 問題の内容

与えられた式が $x$ についての恒等式となるように、$a, b, c$ の値を求める問題です。問題の式は以下です。

$\frac{2}{(x+2)(4x^2+7x+2)} = \frac{a}{x+2} + \frac{bx+c}{4x^2+7x+2}$

2. 解き方の手順

まず、右辺を通分します。

$\frac{a}{x+2} + \frac{bx+c}{4x^2+7x+2} = \frac{a(4x^2+7x+2) + (bx+c)(x+2)}{(x+2)(4x^2+7x+2)}$

分子を整理します。

$a(4x^2+7x+2) + (bx+c)(x+2) = 4ax^2 + 7ax + 2a + bx^2 + 2bx + cx + 2c = (4a+b)x^2 + (7a+2b+c)x + (2a+2c)$

したがって、

$\frac{2}{(x+2)(4x^2+7x+2)} = \frac{(4a+b)x^2 + (7a+2b+c)x + (2a+2c)}{(x+2)(4x^2+7x+2)}$

両辺の分子を比較すると、以下の等式が得られます。

$(4a+b)x^2 + (7a+2b+c)x + (2a+2c) = 2$

この式が恒等式であるためには、各次数の係数が等しくなければなりません。したがって、以下の連立方程式が得られます。

$4a+b = 0$

$7a+2b+c = 0$

$2a+2c = 2$

この連立方程式を解きます。

まず、3番目の式から $a+c = 1$ なので、$c = 1-a$ が得られます。

1番目の式から $b = -4a$ が得られます。

これらを2番目の式に代入すると、

$7a+2(-4a)+1-a = 0$

$7a - 8a + 1 - a = 0$

$-2a + 1 = 0$

$2a = 1$

$a = \frac{1}{2}$

$b = -4a = -4(\frac{1}{2}) = -2$

$c = 1 - a = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{2}$

$b = -2$

$c = \frac{1}{2}$