はい、承知いたしました。問題文に記載された問題を解いていきます。

はい、承知いたしました。問題文に記載された問題を解いていきます。

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1. 問題の内容**

与えられた数式を計算し、絶対値を含む式の値を求め、分母の有理化を行い、方程式と不等式を解く問題です。

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2. 解き方の手順**

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1. 式の計算**

(1) $(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)$: これは和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を利用します。

$(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1) = (\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4$

(2) $(\sqrt{12} - \sqrt{2})(\sqrt{75} + 2\sqrt{8})$: まず$\sqrt{12}$, $\sqrt{75}$, $\sqrt{8}$ をそれぞれ簡単にします。

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

したがって、

$(2\sqrt{3} - \sqrt{2})(5\sqrt{3} + 4\sqrt{2}) = 2\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 5\sqrt{3} - \sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = 10 \cdot 3 + 8\sqrt{6} - 5\sqrt{6} - 4 \cdot 2 = 30 + 3\sqrt{6} - 8 = 22 + 3\sqrt{6}$

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2. 値を求める**

(1) $|-3| - |-6|$: 絶対値記号を外します。

$|-3| = 3$

$|-6| = 6$

$3 - 6 = -3$

(2) $1 + \sqrt{3} - |1 - \sqrt{3}|$: $1 < \sqrt{3}$なので、$1 - \sqrt{3} < 0$です。したがって、$|1 - \sqrt{3}| = - (1 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1$

$1 + \sqrt{3} - (\sqrt{3} - 1) = 1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 = 2$

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3. 分母の有理化**

(1) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}$: 分母の共役な複素数 $\sqrt{7} + \sqrt{2}$ を分子と分母にかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{(\sqrt{7} - \sqrt{2})(\sqrt{7} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{21} + \sqrt{6}}{7 - 2} = \frac{\sqrt{21} + \sqrt{6}}{5}$

(2) $\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}$: 分母の共役な複素数 $3\sqrt{2} + \sqrt{6}$ を分子と分母にかけます。

$\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{3\sqrt{2} - \sqrt{6}} = \frac{(3\sqrt{2} + \sqrt{6})(3\sqrt{2} + \sqrt{6})}{(3\sqrt{2} - \sqrt{6})(3\sqrt{2} + \sqrt{6})} = \frac{(3\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{18 + 6\sqrt{12} + 6}{18 - 6} = \frac{24 + 6 \cdot 2\sqrt{3}}{12} = \frac{24 + 12\sqrt{3}}{12} = 2 + \sqrt{3}$

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4. 方程式を解く**

(1) $|2x + 1| = \frac{1}{2}$: 絶対値記号を外して、2つの場合に分けて考えます。

$2x + 1 = \frac{1}{2}$ または $2x + 1 = -\frac{1}{2}$

$2x = -\frac{1}{2}$ または $2x = -\frac{3}{2}$

$x = -\frac{1}{4}$ または $x = -\frac{3}{4}$

(2) $|\frac{x}{5} - 1| = 2$: 絶対値記号を外して、2つの場合に分けて考えます。

$\frac{x}{5} - 1 = 2$ または $\frac{x}{5} - 1 = -2$

$\frac{x}{5} = 3$ または $\frac{x}{5} = -1$

$x = 15$ または $x = -5$

(3) $|\frac{2x + 3}{5}| = 1$: 絶対値記号を外して、2つの場合に分けて考えます。

$\frac{2x + 3}{5} = 1$ または $\frac{2x + 3}{5} = -1$

$2x + 3 = 5$ または $2x + 3 = -5$

$2x = 2$ または $2x = -8$

$x = 1$ または $x = -4$

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5. 不等式を解く**

(1) $|3x - 1| \geq 2$: 絶対値記号を外して、2つの場合に分けて考えます。

$3x - 1 \geq 2$ または $3x - 1 \leq -2$

$3x \geq 3$ または $3x \leq -1$

$x \geq 1$ または $x \leq -\frac{1}{3}$

(2) $|\frac{x}{2}| < 3$: 絶対値記号を外して考えます。

$-3 < \frac{x}{2} < 3$

$-6 < x < 6$

(3) $|\frac{4x + 1}{3}| \geq 1$: 絶対値記号を外して、2つの場合に分けて考えます。

$\frac{4x + 1}{3} \geq 1$ または $\frac{4x + 1}{3} \leq -1$

$4x + 1 \geq 3$ または $4x + 1 \leq -3$

$4x \geq 2$ または $4x \leq -4$

$x \geq \frac{1}{2}$ または $x \leq -1$

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3. 最終的な答え**

1. (1) 4 (2) $22 + 3\sqrt{6}$

2. (1) -3 (2) 2

3. (1) $\frac{\sqrt{21} + \sqrt{6}}{5}$ (2) $2 + \sqrt{3}$

4. (1) $x = -\frac{1}{4}, -\frac{3}{4}$ (2) $x = 15, -5$ (3) $x = 1, -4$

5. (1) $x \geq 1$ または $x \leq -\frac{1}{3}$ (2) $-6 < x < 6$ (3) $x \geq \frac{1}{2}$ または $x \leq -1$