複素数平面上の点 $z$ が与えられたとき、次の点が点 $z$ をどのように回転した点であるかを求める問題です。 (1) $(\frac{-\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)z$ (2) $(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i)z$

1. 問題の内容

複素数平面上の点 $z$ が与えられたとき、次の点が点 $z$ をどのように回転した点であるかを求める問題です。

(1) $(\frac{-\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)z$

(2) $(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i)z$

2. 解き方の手順

複素数 $a+bi$ を極形式 $r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表すとき、複素数 $z$ に $a+bi$ を掛けることは、$z$ を原点を中心に $\theta$ だけ回転し、大きさを $r$ 倍することに対応します。

(1) 複素数 $\frac{-\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$ を極形式で表します。

$r = \sqrt{(\frac{-\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1$

$\cos\theta = \frac{-\sqrt{3}}{2}, \sin\theta = \frac{1}{2}$ より、$\theta = \frac{5}{6}\pi$

したがって、$\frac{-\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i = \cos(\frac{5}{6}\pi) + i\sin(\frac{5}{6}\pi) = e^{i\frac{5}{6}\pi}$

よって、$(\frac{-\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)z$ は、$z$ を原点を中心に$\frac{5}{6}\pi$ (または150度)回転した点です。

(2) 複素数 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ を極形式で表します。

$r = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{-\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$

$\cos\theta = \frac{1}{2}, \sin\theta = \frac{-\sqrt{3}}{2}$ より、$\theta = -\frac{\pi}{3}$

したがって、$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = \cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}) = e^{-i\frac{\pi}{3}}$

よって、$(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i)z$ は、$z$ を原点を中心に$-\frac{\pi}{3}$ (または-60度)回転した点です。すなわち、$\frac{\pi}{3}$ (または60度)反時計回りに回転した点です。

3. 最終的な答え

(1) 原点を中心に $\frac{5}{6}\pi$ 回転

(2) 原点を中心に $-\frac{\pi}{3}$ 回転（または、$\frac{\pi}{3}$ 反時計回りに回転）