次の不等式を証明し、等号が成り立つ場合を調べます。 (1) $(x^2 + 1)(y^2 + 1) \geq (xy + 1)^2$ (2) $x^2 - 2xy + 2y^2 \geq 0$ (3) $a^2 + b^2 \geq 2(a+b-1)$

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

次の不等式を証明し、等号が成り立つ場合を調べます。

(1) $(x^2 + 1)(y^2 + 1) \geq (xy + 1)^2$

(2) $x^2 - 2xy + 2y^2 \geq 0$

(3) $a^2 + b^2 \geq 2(a+b-1)$

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $(x^2 + 1)(y^2 + 1) \geq (xy + 1)^2$ の証明

左辺を展開すると $x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1$ となります。

右辺を展開すると $x^2y^2 + 2xy + 1$ となります。

したがって、示すべき不等式は

$x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1 \geq x^2y^2 + 2xy + 1$

整理すると、

$x^2 - 2xy + y^2 \geq 0$

これは $(x-y)^2 \geq 0$ と同値であり、常に成り立ちます。

等号が成り立つのは $x=y$ のときです。

(2) 不等式 $x^2 - 2xy + 2y^2 \geq 0$ の証明

$x^2 - 2xy + 2y^2 = (x-y)^2 + y^2$

$(x-y)^2 \geq 0$ かつ $y^2 \geq 0$ であるから、 $(x-y)^2 + y^2 \geq 0$ が成り立ちます。

等号が成り立つのは $x-y = 0$ かつ $y = 0$ 、つまり $x=y=0$ のときです。

(3) 不等式 $a^2 + b^2 \geq 2(a+b-1)$ の証明

$a^2 + b^2 - 2(a+b-1) \geq 0$ を示します。

$a^2 + b^2 - 2a - 2b + 2 = (a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1)$

$= (a-1)^2 + (b-1)^2$

$(a-1)^2 \geq 0$ かつ $(b-1)^2 \geq 0$ であるから、 $(a-1)^2 + (b-1)^2 \geq 0$ が成り立ちます。

等号が成り立つのは $a-1 = 0$ かつ $b-1 = 0$ 、つまり $a=1$ かつ $b=1$ のときです。

3. 最終的な答え

(1) 不等式 $(x^2 + 1)(y^2 + 1) \geq (xy + 1)^2$ は成り立つ。等号成立は $x=y$ のとき。

(2) 不等式 $x^2 - 2xy + 2y^2 \geq 0$ は成り立つ。等号成立は $x=y=0$ のとき。

(3) 不等式 $a^2 + b^2 \geq 2(a+b-1)$ は成り立つ。等号成立は $a=1$ かつ $b=1$ のとき。