$a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ の公式を用いて、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を因数分解する。

1. 問題の内容

$a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ の公式を用いて、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ の $a^3 + b^3$ の部分に、$a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ の公式を適用する。

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 - 3abc$

次に、$(a+b)^3 + c^3$ の部分を計算する。これは、和の3乗の公式または因数分解の公式を用いて、$(a+b)^3 + c^3 = (a+b+c)((a+b)^2 - (a+b)c + c^2)$と変形できる。

$(a+b)^3 + c^3 = (a+b+c)((a+b)^2 - (a+b)c + c^2)$

$= (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2)$

$= (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - ac - bc)$

したがって、

$(a+b)^3 - 3ab(a+b) + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - ac - bc) - 3ab(a+b) - 3abc$

$= (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - ac - bc) - 3ab(a+b+c)$

$= (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - ac - bc - 3ab)$

$= (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)$

3. 最終的な答え

$(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$