$A=[a_{ij}]$ を $m \times n$ 行列とし、各成分 $a_{ij}$ は実数とする。このとき、$A^t A$ の対角成分がすべて 0 ならば、$A = O$ であることを証明する。ここで、$A^t$ は $A$ の転置行列を表す。

1. 問題の内容

$A=[a_{ij}]$ を $m \times n$ 行列とし、各成分 $a_{ij}$ は実数とする。このとき、$A^t A$ の対角成分がすべて 0 ならば、$A = O$ であることを証明する。ここで、$A^t$ は $A$ の転置行列を表す。

2. 解き方の手順

$A = [a_{ij}]$ を $m \times n$ 行列とする。$A^t$ は $n \times m$ 行列であり、$A^t$ の $(i, j)$ 成分は $a_{ji}$ である。

$A^t A$ は $n \times n$ 行列であり、$A^t A$ の $(i, i)$ 成分は、$\sum_{k=1}^{m} (A^t)_{ik} A_{ki} = \sum_{k=1}^{m} a_{ki} a_{ki} = \sum_{k=1}^{m} a_{ki}^2$ で与えられる。

問題文より、$A^t A$ の対角成分がすべて 0 であるため、すべての $i$ に対して、

$$$$

\sum_{k=1}^{m} a_{ki}^2 = 0

$$$$

が成り立つ。

各 $a_{ki}$ は実数であるため、$a_{ki}^2 \geq 0$ が成り立つ。したがって、$\sum_{k=1}^{m} a_{ki}^2 = 0$ となるためには、すべての $k$ に対して $a_{ki}^2 = 0$ でなければならない。これは、すべての $k$ に対して $a_{ki} = 0$ であることを意味する。

したがって、すべての $i$ に対して、すべての $k$ について $a_{ki} = 0$ である。これは、行列 $A$ のすべての成分が 0 であることを意味し、$A = O$ となる。

3. 最終的な答え

$A = O$