与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 6 & -1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} 3 & 8 \end{bmatrix}$ に対して、以下の計算を行え。 (1) $A + B$ (2) $A - 2B$ (3) $CD$ (4) $AC$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 6 & -1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} 3 & 8 \end{bmatrix}$ に対して、以下の計算を行え。

(1) $A + B$

(2) $A - 2B$

(3) $CD$

(4) $AC$

2. 解き方の手順

(1) $A + B$ の計算

行列の足し算は、対応する成分同士を足し合わせることで行う。

$A + B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 6 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 0+0 \\ 6+2 & -1+2 \end{bmatrix}$

(2) $A - 2B$ の計算

まず、$2B$ を計算する。行列のスカラー倍は、全ての成分をそのスカラーで掛けることで行う。

$2B = 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}$

次に、$A - 2B$ を計算する。行列の引き算は、対応する成分同士を引き算することで行う。

$A - 2B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 6 & -1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-2 & 0-0 \\ 6-4 & -1-4 \end{bmatrix}$

(3) $CD$ の計算

$C$は2x1行列、$D$は1x2行列である。これらの積は2x2行列となる。行列の積は、左側の行列の行ベクトルと右側の行列の列ベクトルの内積を取ることで計算する。

$CD = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times 3 & 1 \times 8 \\ 2 \times 3 & 2 \times 8 \end{bmatrix}$

(4) $AC$ の計算

$A$は2x2行列、$C$は2x1行列である。これらの積は2x1行列となる。行列の積は、左側の行列の行ベクトルと右側の行列の列ベクトルの内積を取ることで計算する。

$AC = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 6 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times 1 + 0 \times 2 \\ 6 \times 1 + (-1) \times 2 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A + B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 8 & 1 \end{bmatrix}$

(2) $A - 2B = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 2 & -5 \end{bmatrix}$

(3) $CD = \begin{bmatrix} 3 & 8 \\ 6 & 16 \end{bmatrix}$

(4) $AC = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix}$