$m$ を正の整数とする。$P = m^3 - 4m^2 - 4m - 5$ が素数となるとき、$P$ の値を求める。

1. 問題の内容

$m$ を正の整数とする。$P = m^3 - 4m^2 - 4m - 5$ が素数となるとき、$P$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$P$ を因数分解することを試みる。

$P = m^3 - 4m^2 - 4m - 5$

$= m^3 + m^2 - 5m^2 - 5m + m - 5$

$= m^2(m+1) - 5m(m+1) + (m-5)$

$= m^2(m+1) - 5m(m+1) + (m+1) - 6$

$= (m+1)(m^2 - 5m + 1) - 6$

因数定理を用いることを考える。$P(5) = 125 - 100 - 20 - 5 = 0$ではない。$P(-1)$も0ではない。

ここで、$m^3 - 4m^2 - 4m - 5 = (m-5)(m^2 + am + b)$の形に因数分解できないか試す。

展開すると$m^3 + (a-5)m^2 + (b-5a)m - 5b$となる。

$a-5 = -4$より、$a=1$

$b-5a = -4$より、$b-5 = -4$だから、$b=1$

$-5b = -5$だから、$b=1$

したがって、

$P = m^3 - 4m^2 - 4m - 5 = (m-5)(m^2 + m + 1)$ と因数分解できる。

$P$ が素数なので、$m-5 = 1$ または $m^2 + m + 1 = 1$ のどちらかである。

もし、$m-5 = 1$ なら、$m = 6$。このとき、$P = (6-5)(6^2 + 6 + 1) = 1(36+6+1) = 43$ であり、これは素数である。

もし、$m^2 + m + 1 = 1$ なら、$m^2 + m = 0$ より、$m(m+1) = 0$。$m$ は正の整数なので、$m=0$または$m=-1$ は不適。

したがって、$m = 6$ のとき、$P = 43$ となる。

3. 最終的な答え

43