(1) 行列 $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ 0 & a_{22} \end{bmatrix}$ が正則行列であるための必要十分条件が $a_{11} a_{22} \neq 0$ であることを示す。 (2) 行列 $B = \begin{bmatrix} b_{11} & 0 & b_{13} \\ 0 & b_{22} & 0 \\ 0 & 0 & b_{33} \end{bmatrix}$ が正則行列であるための必要十分条件が $b_{11} b_{22} b_{33} \neq 0$ であることを示す。

1. 問題の内容

(1) 行列 $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ 0 & a_{22} \end{bmatrix}$ が正則行列であるための必要十分条件が $a_{11} a_{22} \neq 0$ であることを示す。

(2) 行列 $B = \begin{bmatrix} b_{11} & 0 & b_{13} \\ 0 & b_{22} & 0 \\ 0 & 0 & b_{33} \end{bmatrix}$ が正則行列であるための必要十分条件が $b_{11} b_{22} b_{33} \neq 0$ であることを示す。

2. 解き方の手順

(1)

行列 $A$ が正則であるとは、ある行列 $X$ が存在して $AX = XA = I$（$I$ は単位行列）となることである。$A$ の行列式は $\det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12} \cdot 0 = a_{11} a_{22}$ である。行列 $A$ が正則であるための必要十分条件は $\det(A) \neq 0$ であるから、$a_{11} a_{22} \neq 0$ である。

次に、実際に逆行列を構成することで示す。$a_{11}a_{22} \ne 0$ のとき、

$A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{a_{11}} & -\frac{a_{12}}{a_{11}a_{22}} \\ 0 & \frac{1}{a_{22}} \end{bmatrix}$

とおくと、

$AA^{-1} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ 0 & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{a_{11}} & -\frac{a_{12}}{a_{11}a_{22}} \\ 0 & \frac{1}{a_{22}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{a_{12}}{a_{22}} + \frac{a_{12}}{a_{22}} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$

$A^{-1}A = \begin{bmatrix} \frac{1}{a_{11}} & -\frac{a_{12}}{a_{11}a_{22}} \\ 0 & \frac{1}{a_{22}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ 0 & a_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & \frac{a_{12}}{a_{11}} - \frac{a_{12}}{a_{11}} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$

となるので、$a_{11} a_{22} \neq 0$ ならば $A$ は正則である。

逆に、$a_{11} a_{22} = 0$ とする。このとき、

$a_{11} = 0$ または $a_{22} = 0$ である。

$a_{11} = 0$ のとき、$A = \begin{bmatrix} 0 & a_{12} \\ 0 & a_{22} \end{bmatrix}$ となり、

$a_{22} = 0$ のとき、$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ となる。

どちらの場合も$\det(A) = 0$なので、$A$は正則ではない。

(2)

行列 $B$ が正則であるとは、ある行列 $X$ が存在して $BX = XB = I$（$I$ は単位行列）となることである。$B$ の行列式は $\det(B) = b_{11} b_{22} b_{33}$ である。行列 $B$ が正則であるための必要十分条件は $\det(B) \neq 0$ であるから、$b_{11} b_{22} b_{33} \neq 0$ である。

次に、実際に逆行列を構成することで示す。$b_{11} b_{22} b_{33} \ne 0$ のとき、

$B^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{b_{11}} & 0 & -\frac{b_{13}}{b_{11}b_{33}} \\ 0 & \frac{1}{b_{22}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{b_{33}} \end{bmatrix}$

とおくと、

$BB^{-1} = \begin{bmatrix} b_{11} & 0 & b_{13} \\ 0 & b_{22} & 0 \\ 0 & 0 & b_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{b_{11}} & 0 & -\frac{b_{13}}{b_{11}b_{33}} \\ 0 & \frac{1}{b_{22}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{b_{33}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -\frac{b_{13}}{b_{33}}+\frac{b_{13}}{b_{33}} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$

$B^{-1}B = \begin{bmatrix} \frac{1}{b_{11}} & 0 & -\frac{b_{13}}{b_{11}b_{33}} \\ 0 & \frac{1}{b_{22}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{b_{33}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{11} & 0 & b_{13} \\ 0 & b_{22} & 0 \\ 0 & 0 & b_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{b_{13}}{b_{11}}-\frac{b_{13}}{b_{11}} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$

となるので、$b_{11} b_{22} b_{33} \neq 0$ ならば $B$ は正則である。

逆に、$b_{11} b_{22} b_{33} = 0$ とする。このとき、$b_{11} = 0$ または $b_{22} = 0$ または $b_{33} = 0$ である。いずれの場合も $\det(B) = 0$ なので、$B$ は正則ではない。

3. 最終的な答え

(1) 行列 $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ 0 & a_{22} \end{bmatrix}$ が正則行列であるための必要十分条件は $a_{11} a_{22} \neq 0$ である。

(2) 行列 $B = \begin{bmatrix} b_{11} & 0 & b_{13} \\ 0 & b_{22} & 0 \\ 0 & 0 & b_{33} \end{bmatrix}$ が正則行列であるための必要十分条件は $b_{11} b_{22} b_{33} \neq 0$ である。