与えられた式 $x^2 - xy - 6y^2 + 3x + y + 2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - xy - 6y^2 + 3x + y + 2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を$x$についての2次式と見て整理します。

$x^2 + (-y+3)x + (-6y^2 + y + 2)$

次に、$x$の係数$(-y+3)$と定数項$(-6y^2 + y + 2)$に着目します。定数項を因数分解できるか試してみます。

$-6y^2 + y + 2 = -(6y^2 - y - 2) = -(2y+1)(3y-2)$

ここで、式が$(x + ay + b)(x + cy + d)$の形に因数分解できると仮定します。展開すると、

$(x + ay + b)(x + cy + d) = x^2 + (a+c)xy + acy^2 + (b+d)x + (ad+bc)y + bd$

したがって、以下の関係が成り立つはずです。

$a+c = -1$

$ac = -6$

$b+d = 3$

$ad+bc = 1$

$bd = 2$

$ac = -6$より、$a$と$c$の組み合わせとして、$(2, -3)$, $(-2, 3)$, $(3, -2)$, $(-3, 2)$などが考えられます。

$a+c = -1$を満たすのは、$a=2, c=-3$ または $a=3, c=-2$の組み合わせです。

同様に、$bd = 2$より、$b$と$d$の組み合わせとして、$(1, 2)$, $(2, 1)$, $(-1, -2)$, $(-2, -1)$などが考えられます。

$b+d = 3$を満たすのは、$b=1, d=2$ または $b=2, d=1$の組み合わせです。

$ad+bc = 1$の条件と照らし合わせて検討します。

(1) $a=2, c=-3, b=1, d=2$の場合、$ad+bc = 2(2) + (-3)(1) = 4 - 3 = 1$となり、条件を満たします。

(2) $a=2, c=-3, b=2, d=1$の場合、$ad+bc = 2(1) + (-3)(2) = 2 - 6 = -4$となり、条件を満たしません。

(3) $a=3, c=-2, b=1, d=2$の場合、$ad+bc = 3(2) + (-2)(1) = 6 - 2 = 4$となり、条件を満たしません。

(4) $a=3, c=-2, b=2, d=1$の場合、$ad+bc = 3(1) + (-2)(2) = 3 - 4 = -1$となり、条件を満たしません。

したがって、$a=2, c=-3, b=1, d=2$が正しい組み合わせです。

よって、

$(x + 2y + 1)(x - 3y + 2)$

3. 最終的な答え

$(x+2y+1)(x-3y+2)$