画像に写っている数学の問題のうち、11.(1)の不等式 $\frac{a}{2} + \frac{1}{2a} \geq 1$ を証明し、等号が成り立つ場合を調べる。ここで、$a > 0$ である。

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題のうち、11.(1)の不等式 $\frac{a}{2} + \frac{1}{2a} \geq 1$ を証明し、等号が成り立つ場合を調べる。ここで、$a > 0$ である。

2. 解き方の手順

相加平均・相乗平均の関係を利用する。

$a > 0$ より、$\frac{a}{2} > 0$ かつ $\frac{1}{2a} > 0$ なので、相加平均・相乗平均の関係より、

$\frac{a}{2} + \frac{1}{2a} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{2} \cdot \frac{1}{2a}} = 2 \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

したがって、$\frac{a}{2} + \frac{1}{2a} \geq 1$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、$\frac{a}{2} = \frac{1}{2a}$ のときである。これを解くと、

$a^2 = 1$

$a = \pm 1$

$a > 0$ より、$a = 1$ である。

3. 最終的な答え

不等式 $\frac{a}{2} + \frac{1}{2a} \geq 1$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、$a = 1$ のとき。