次の式を簡単にせよという問題です。 $\frac{2}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

次の式を簡単にせよという問題です。

$\frac{2}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{2}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ の分母を有理化します。

分母と分子に $1+\sqrt{2} - \sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{2(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})} = \frac{2(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}$

$(1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 - 3 = 2\sqrt{2}$

したがって、

$\frac{2}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{2(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{2\sqrt{2}} = \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{2} = \frac{\sqrt{2}+2-\sqrt{6}}{2}$

次に、$\sqrt{2-\sqrt{3}}$ を簡単にします。

$\sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

したがって、

$\frac{2}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}+2-\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}+2-\sqrt{6}+\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1$

3. 最終的な答え

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