不等式 $\frac{b}{2a} + \frac{2a}{b} \geq 2$ が成り立つ場合を調べる問題です。特に、等号が成り立つ場合を求めます。ここで、$a$ と $b$ は実数であると仮定します。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{b}{2a} + \frac{2a}{b} \geq 2$ が成り立つ場合を調べる問題です。特に、等号が成り立つ場合を求めます。ここで、$a$ と $b$ は実数であると仮定します。

2. 解き方の手順

この問題は相加相乗平均の関係を利用して解くことができます。

相加相乗平均の関係とは、$x > 0, y > 0$ のとき、

$$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$$

が成り立つというものです。等号が成り立つのは $x = y$ のときです。

$\frac{b}{2a}$ と $\frac{2a}{b}$ が正の数であるならば、相加相乗平均の関係を使うことができます。

つまり、$a > 0$ かつ $b > 0$ または $a < 0$ かつ $b < 0$ の場合を考えます。

$x = \frac{b}{2a}$、 $y = \frac{2a}{b}$ とおくと、

$$\frac{\frac{b}{2a} + \frac{2a}{b}}{2} \geq \sqrt{\frac{b}{2a} \cdot \frac{2a}{b}} = \sqrt{1} = 1$$

したがって、

$$\frac{b}{2a} + \frac{2a}{b} \geq 2$$

等号が成り立つのは、$\frac{b}{2a} = \frac{2a}{b}$ のときです。

$$\frac{b}{2a} = \frac{2a}{b} \Leftrightarrow b^2 = 4a^2 \Leftrightarrow b = \pm 2a$$

ただし、$a > 0$ かつ $b > 0$ または $a < 0$ かつ $b < 0$ の条件より、$b = 2a$ のみとなります。

3. 最終的な答え

不等式 $\frac{b}{2a} + \frac{2a}{b} \geq 2$ が成り立つのは、$a > 0$ かつ $b > 0$ または $a < 0$ かつ $b < 0$ のときです。等号が成り立つのは、$b = 2a$ のときです。