複素数 $z = 6 + 2i$ を原点を中心として、与えられた角度だけ回転させた点を表す複素数を求める問題です。回転角度はそれぞれ (1) $\frac{\pi}{4}$、(2) $-\frac{\pi}{3}$、(3) $\frac{\pi}{2}$、(4) $\frac{5}{6}\pi$ です。

1. 問題の内容

複素数 $z = 6 + 2i$ を原点を中心として、与えられた角度だけ回転させた点を表す複素数を求める問題です。回転角度はそれぞれ (1) $\frac{\pi}{4}$、(2) $-\frac{\pi}{3}$、(3) $\frac{\pi}{2}$、(4) $\frac{5}{6}\pi$ です。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を角 $\theta$ だけ回転させるには、$z$ に $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ を掛けます。

(1) $\theta = \frac{\pi}{4}$ の場合:

$e^{i\frac{\pi}{4}} = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}$

回転後の複素数は、

$z \cdot e^{i\frac{\pi}{4}} = (6 + 2i) (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}) = (6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + i(6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2\sqrt{2} + i4\sqrt{2}$

(2) $\theta = -\frac{\pi}{3}$ の場合:

$e^{-i\frac{\pi}{3}} = \cos (-\frac{\pi}{3}) + i \sin (-\frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$

回転後の複素数は、

$z \cdot e^{-i\frac{\pi}{3}} = (6 + 2i)(\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = (6 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) + i(-6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2}) = (3 + \sqrt{3}) + i(1 - 3\sqrt{3})$

(3) $\theta = \frac{\pi}{2}$ の場合:

$e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} = 0 + i \cdot 1 = i$

回転後の複素数は、

$z \cdot e^{i\frac{\pi}{2}} = (6 + 2i)i = 6i + 2i^2 = -2 + 6i$

(4) $\theta = \frac{5}{6}\pi$ の場合:

$e^{i\frac{5}{6}\pi} = \cos \frac{5}{6}\pi + i \sin \frac{5}{6}\pi = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}$

回転後の複素数は、

$z \cdot e^{i\frac{5}{6}\pi} = (6 + 2i)(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}) = (6 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 2 \cdot \frac{1}{2}) + i(6 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})) = (-3\sqrt{3} - 1) + i(3 - \sqrt{3})$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}i$

(2) $3 + \sqrt{3} + (1 - 3\sqrt{3})i$

(3) $-2 + 6i$

(4) $-3\sqrt{3} - 1 + (3 - \sqrt{3})i$