$xy$平面上で、$y$軸と平行でないベクトル$\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$を考える。点$v$を通って$\mathbf{a}$と平行な直線と$y$軸との交点を対応させる写像$p$と、点$v$を通って$y$軸と平行な直線と$\mathbf{a}$を延長した直線との交点を対応させる写像$q$が与えられ、それぞれの行列表示は $p = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} & 1 \end{pmatrix}, \quad q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix}$ である。 (1) $pq$と$qp$を計算し、その結果の図形的な意味を考察せよ。 (2) (1)の結果から、$pr = rp = E$を満たす行列$r$が存在しないことを示せ。 (3) $p^2$と$q^2$を計算し、その結果の図形的な意味を考察せよ。 (4) $p^2 + pq + qp + q^2$を二通りの方法で計算し、その結果の図形的な意味を考察せよ。

1. 問題の内容

$xy$平面上で、$y$軸と平行でないベクトル$\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$を考える。点$v$を通って$\mathbf{a}$と平行な直線と$y$軸との交点を対応させる写像$p$と、点$v$を通って$y$軸と平行な直線と$\mathbf{a}$を延長した直線との交点を対応させる写像$q$が与えられ、それぞれの行列表示は

$p = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} & 1 \end{pmatrix}, \quad q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix}$

である。

(1) $pq$と$qp$を計算し、その結果の図形的な意味を考察せよ。

(2) (1)の結果から、$pr = rp = E$を満たす行列$r$が存在しないことを示せ。

(3) $p^2$と$q^2$を計算し、その結果の図形的な意味を考察せよ。

(4) $p^2 + pq + qp + q^2$を二通りの方法で計算し、その結果の図形的な意味を考察せよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$pq$と$qp$を計算する。

$pq = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} + \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

$qp = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

図形的な意味：$pq$も$qp$も零行列なので、原点に写像する。

(2) (1)の結果より、$pq = qp = 0$である。もし$pr = E$を満たす行列$r$が存在したと仮定すると、$p$は正則である。しかし、$p$は正則ではないため、そのような$r$は存在しない。同様に、$rp = E$を満たす行列$r$も存在しない。

(3) $p^2$と$q^2$を計算する。

$p^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} & 1 \end{pmatrix} = p$

$q^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix} = q$

図形的な意味：$p^2=p$と$q^2=q$は、それぞれ写像$p$と$q$を2回繰り返しても同じ結果になることを意味する。

(4) $p^2 + pq + qp + q^2$を計算する。

方法1：直接代入

$p^2 + pq + qp + q^2 = p + 0 + 0 + q = p + q = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E$

方法2：因数分解

$p^2 + pq + qp + q^2 = p(p+q) + q(p+q) = (p+q)(p+q)$ とはならない。

なぜなら行列のかけ算は一般に交換法則が成り立たないから。

間違いです。改めて

$p^2 + pq + qp + q^2 = p(p+q) + q^2 = p(p+q) + q$

$=p^2+pq+q=p+0+q=p+q=E$

図形的な意味：$p^2 + pq + qp + q^2 = E$は、これらの写像の組み合わせが恒等変換になることを意味する。

3. 最終的な答え

(1) $pq = qp = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。図形的な意味：原点に写像する。

(2) $pr=rp=E$を満たす行列$r$は存在しない。

(3) $p^2 = p = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -\frac{a_2}{a_1} & 1 \end{pmatrix}$, $q^2 = q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{a_2}{a_1} & 0 \end{pmatrix}$。図形的な意味：それぞれ写像$p$と$q$を2回繰り返しても同じ結果になる。

(4) $p^2 + pq + qp + q^2 = E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。図形的な意味：恒等変換。