第4項が1、第12項が25である等差数列$\{a_n\}$の一般項を求め、さらに初項から第30項までの和$S_{30}$を求めよ。

1. 問題の内容

第4項が1、第12項が25である等差数列$\{a_n\}$の一般項を求め、さらに初項から第30項までの和$S_{30}$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、等差数列の一般項を$a_n = a + (n-1)d$とおく。

ここで、$a$は初項、$d$は公差である。

第4項が1であることから、

$a_4 = a + 3d = 1$ ...(1)

第12項が25であることから、

$a_{12} = a + 11d = 25$ ...(2)

(2) - (1)より、

$8d = 24$

$d = 3$

$d=3$を(1)に代入すると、

$a + 3(3) = 1$

$a = 1 - 9 = -8$

したがって、一般項は

$a_n = -8 + (n-1)3 = -8 + 3n - 3 = 3n - 11$

次に、初項から第30項までの和$S_{30}$を求める。

$S_{30} = \frac{30}{2} (a_1 + a_{30})$

$a_1 = 3(1) - 11 = -8$

$a_{30} = 3(30) - 11 = 90 - 11 = 79$

$S_{30} = \frac{30}{2} (-8 + 79) = 15 (71) = 1065$

3. 最終的な答え

$a_n = 3n - 11$

$S_{30} = 1065$