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与えられた多項式 $6x^2 - 7ax + 2a^2 - 6x + 5a - 12$ を因数分解する。

代数学因数分解多項式二次式文字を含む式
2025/5/6

1. 問題の内容

与えられた多項式 6x2−7ax+2a2−6x+5a−126x^2 - 7ax + 2a^2 - 6x + 5a - 12 を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、xx に関する二次式として整理する。
6x2−7ax+2a2−6x+5a−12=6x2+(−7a−6)x+(2a2+5a−12)6x^2 - 7ax + 2a^2 - 6x + 5a - 12 = 6x^2 + (-7a-6)x + (2a^2 + 5a - 12)
次に、定数項 2a2+5a−122a^2 + 5a - 12 を因数分解する。
2a2+5a−12=(2a−3)(a+4)2a^2 + 5a - 12 = (2a - 3)(a + 4)
よって、与式は
6x2+(−7a−6)x+(2a−3)(a+4)6x^2 + (-7a-6)x + (2a-3)(a+4) となる。
この式が (Ax+Ba+C)(Dx+Ea+F)(Ax + Ba + C)(Dx + Ea + F) の形に因数分解できると仮定し、係数を比較することを考える。
6x26x^2 の項から、積が 6 となる A, D の候補を考える。例えば A=3, D=2。
2a22a^2 の項から、積が 2 となる B, E の候補を考える。例えば B=2, E=1。
定数項の 2a2+5a−12=(2a−3)(a+4)2a^2+5a-12 = (2a-3)(a+4) から、候補を探す。
2a−3,a+42a-3, a+4 を組み合わせることを考える。
与式が (3x+2a+C)(2x+a+F)(3x + 2a + C)(2x + a + F) の形で因数分解できると仮定し、展開して係数を比較する。
(3x+2a+C)(2x+a+F)=6x2+3ax+6ax+4a2+3Cx+2Cx+3Fx+2Fa+CF(3x + 2a + C)(2x + a + F) = 6x^2 + 3ax + 6ax + 4a^2 + 3Cx + 2Cx + 3Fx + 2Fa + CF
=6x2+(3a+4a)x+(3C+2C)x+(2a2+a2)+(2aF+aF)+CF=6x2+7ax+4a2+5Cx+3Fx+2Fa+CF= 6x^2 + (3a + 4a)x + (3C+2C)x + (2a^2 + a^2) + (2aF+aF) + CF = 6x^2 + 7ax + 4a^2 + 5Cx + 3Fx + 2Fa+ CF
与式と比較して、6x2+(−7a−6)x+(2a2+5a−12)6x^2 + (-7a - 6)x + (2a^2 + 5a - 12) より、
6x2−7ax+2a2−6x+5a−12=(3x−2a+3)(2x−a−4)6x^2 - 7ax + 2a^2 - 6x + 5a - 12 = (3x - 2a + 3)(2x - a - 4)
を展開すると
(3x−2a+3)(2x−a−4)=6x2−3ax−12x−4ax+2a2+8a+6x−3a−12=6x2−7ax−6x+2a2+5a−12(3x-2a+3)(2x-a-4) = 6x^2 - 3ax - 12x - 4ax + 2a^2 + 8a + 6x - 3a - 12 = 6x^2 -7ax -6x + 2a^2 + 5a - 12
よって、正しい。

3. 最終的な答え

(3x−2a+3)(2x−a−4)(3x - 2a + 3)(2x - a - 4)

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