与えられた多項式 $8x^3 + 6x^2 + 3x + 1$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $8x^3 + 6x^2 + 3x + 1$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を見て、$(ax+b)^3$ の形になるかを検討します。

$(ax+b)^3 = a^3x^3 + 3a^2bx^2 + 3ab^2x + b^3$　なので、

$8x^3 + 6x^2 + 3x + 1$ と比較します。

$a^3=8$ なので $a=2$、

$b^3 = 1$ なので $b=1$ となります。

したがって、$(2x+1)^3$ を展開してみます。

$(2x+1)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 + (1)^3$

$= 8x^3 + 3(4x^2) + 6x + 1$

$= 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$

これは元の式 $8x^3 + 6x^2 + 3x + 1$ と一致しません。

しかし、よく見ると $8x^3 = (2x)^3$ であり、$1 = 1^3$ です。

与えられた式は、二項定理を思い起こさせます。

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$

もし、$a=2x$ かつ $b=1$ であれば、$a^3 = 8x^3$ かつ $b^3 = 1$ となります。

また、$3a^2b = 3(2x)^2(1) = 12x^2$ と $3ab^2 = 3(2x)(1)^2 = 6x$ になります。

これらは与えられた式と異なります。

別の方法として、与えられた多項式が因数定理を使って因数分解できるか試してみます。

$f(x) = 8x^3 + 6x^2 + 3x + 1$ とします。

$f(-1/2) = 8(-1/2)^3 + 6(-1/2)^2 + 3(-1/2) + 1 = 8(-1/8) + 6(1/4) - 3/2 + 1 = -1 + 3/2 - 3/2 + 1 = 0$.

したがって、$x = -1/2$ は $f(x)$ の根であり、$2x+1$ は $f(x)$ の因子です。

$8x^3 + 6x^2 + 3x + 1$ を $2x+1$ で割ります。

筆算を行うと、

$8x^3 + 6x^2 + 3x + 1 = (2x+1)(4x^2 + x + 1)$

したがって、$8x^3 + 6x^2 + 3x + 1 = (2x+1)(4x^2+x+1)$

3. 最終的な答え

$(2x+1)(4x^2+x+1)$