等式 $2x^2 - 7x + 8 = (x - 3)(ax + b) + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求めます。

1. 問題の内容

等式 $2x^2 - 7x + 8 = (x - 3)(ax + b) + c$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、右辺を展開します。

$(x - 3)(ax + b) + c = ax^2 + bx - 3ax - 3b + c = ax^2 + (b - 3a)x - 3b + c$

したがって、

$2x^2 - 7x + 8 = ax^2 + (b - 3a)x - 3b + c$

この等式が $x$ についての恒等式であるためには、$x^2$ の係数、$x$ の係数、定数項がそれぞれ等しくなければなりません。

したがって、以下の連立方程式が成り立ちます。

$a = 2$

$b - 3a = -7$

$-3b + c = 8$

最初の式より、$a = 2$。

2番目の式に $a = 2$ を代入すると、

$b - 3(2) = -7$

$b - 6 = -7$

$b = -1$

3番目の式に $b = -1$ を代入すると、

$-3(-1) + c = 8$

$3 + c = 8$

$c = 5$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -1$

$c = 5$