1から20までの整数の集合を全体集合Uとして、部分集合A（3の倍数）、B（5の倍数）、C（7の倍数）について、以下の問題を解く。 (1) A, B, Cの要素の数をそれぞれ答える。 (2) $A \cup B$, $A \cup C$, $A \cap B$, $A \cap C$ の要素の数をそれぞれ答える。 (3) 与えられた文章が命題であるかどうか、また命題の場合は真偽を答える。

1. 問題の内容

1から20までの整数の集合を全体集合Uとして、部分集合A（3の倍数）、B（5の倍数）、C（7の倍数）について、以下の問題を解く。

(1) A, B, Cの要素の数をそれぞれ答える。

(2) $A \cup B$, $A \cup C$, $A \cap B$, $A \cap C$ の要素の数をそれぞれ答える。

(3) 与えられた文章が命題であるかどうか、また命題の場合は真偽を答える。

2. 解き方の手順

(1) A, B, Cの要素の数を求める。

* A（3の倍数）: 3, 6, 9, 12, 15, 18。よって要素数は6。

* B（5の倍数）: 5, 10, 15, 20。よって要素数は4。

* C（7の倍数）: 7, 14。よって要素数は2。

(2) 和集合と共通部分の要素の数を求める。

* $A \cup B$: AまたはBに含まれる要素の数。Aの要素は6個、Bの要素は4個だが、AとBに共通の要素（15）が1つあるので、6 + 4 - 1 = 9個。

* $A \cup C$: AまたはCに含まれる要素の数。Aの要素は6個、Cの要素は2個。AとCに共通の要素はないので、6 + 2 = 8個。

* $A \cap B$: AとBの両方に含まれる要素の数。Aの要素（3の倍数）かつBの要素（5の倍数）であるものは、15のみ。よって要素数は1。

* $A \cap C$: AとCの両方に含まれる要素の数。Aの要素（3の倍数）かつCの要素（7の倍数）であるものは存在しない。よって要素数は0。

(3) 与えられた文章の真偽を判定する。

*

1. 「2の倍数は4の倍数である。」：これは偽。反例として、2は2の倍数だが4の倍数ではない。

*

2. 「大学4年間で成績優秀な学生は、第一志望の企業から内定をもらえる。」：これは命題ではない。なぜなら、「成績優秀」や「第一志望」の定義が曖昧であり、主観的な判断が入る余地があるため。

*

3. 「実数の範囲において、無理数の2乗は無理数である。」：これは偽。例えば、$ (\sqrt{2})^2 = 2 $ は無理数の2乗だが、結果は有理数である。

3. 最終的な答え

(1)

1. 部分集合Aの要素の数: 6

2. 部分集合Bの要素の数: 4

3. 部分集合Cの要素の数: 2

(2)

1. $A \cup B$: 9

2. $A \cup C$: 8

3. $A \cap B$: 1

4. $A \cap C$: 0

(3)

1. この文章は命題であり、この命題は偽である。

2. この文章は命題ではない。

3. この文章は命題であり、この命題は偽である。