与えられた関数 $f(x, y) = x^4 + y^4 - 4x^2 - 4y^2 + 8xy$ の極値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y) = x^4 + y^4 - 4x^2 - 4y^2 + 8xy$ の極値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 偏微分を計算する。

$f_x = 4x^3 - 8x + 8y$

$f_y = 4y^3 - 8y + 8x$

(2) 連立方程式 $f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解いて、停留点を求める。

$4x^3 - 8x + 8y = 0$

$4y^3 - 8y + 8x = 0$

これらの式を簡略化すると、

$x^3 - 2x + 2y = 0$

$y^3 - 2y + 2x = 0$

最初の式から2番目の式を引くと、

$(x^3 - y^3) - 2(x - y) - 2(x - y) = 0$

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) - 4(x - y) = 0$

$(x - y)(x^2 + xy + y^2 - 4) = 0$

したがって、$x = y$ または $x^2 + xy + y^2 = 4$。

場合1: $x = y$ のとき、

$x^3 - 2x + 2x = 0$

$x^3 = 0$

$x = 0$

よって、$(0, 0)$ は停留点。

場合2: $x^2 + xy + y^2 = 4$ のとき、

$x^3 - 2x + 2y = 0$ より、 $2y = 2x - x^3$。

$y = x - \frac{x^3}{2}$

$x^2 + x(x - \frac{x^3}{2}) + (x - \frac{x^3}{2})^2 = 4$

$x^2 + x^2 - \frac{x^4}{2} + x^2 - x^4 + \frac{x^6}{4} = 4$

$3x^2 - \frac{3x^4}{2} + \frac{x^6}{4} = 4$

$12x^2 - 6x^4 + x^6 = 16$

$x^6 - 6x^4 + 12x^2 - 16 = 0$

$x^2 = t$ と置くと、$t^3 - 6t^2 + 12t - 16 = 0$。

$(t - 4)(t^2 - 2t + 4) = 0$。

$t = 4$。

$x^2 = 4$ より、$x = \pm 2$。

$y = x - \frac{x^3}{2}$ より、

$x = 2$ のとき、$y = 2 - \frac{8}{2} = -2$。

$x = -2$ のとき、$y = -2 - \frac{-8}{2} = 2$。

よって、$(2, -2)$ と $(-2, 2)$ は停留点。

(3) 2階偏微分を計算する。

$f_{xx} = 12x^2 - 8$

$f_{yy} = 12y^2 - 8$

$f_{xy} = 8$

(4) ヘッセ行列式 $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$ を計算する。

$D(x, y) = (12x^2 - 8)(12y^2 - 8) - 64$

(5) 各停留点について、$D$ の符号を調べる。

(a) $(0, 0)$ のとき、

$D(0, 0) = (-8)(-8) - 64 = 64 - 64 = 0$

この場合は判定できない。

(b) $(2, -2)$ のとき、

$D(2, -2) = (12(4) - 8)(12(4) - 8) - 64 = (48 - 8)(48 - 8) - 64 = 40 \times 40 - 64 = 1600 - 64 = 1536 > 0$

$f_{xx}(2, -2) = 12(4) - 8 = 40 > 0$

よって、$(2, -2)$ で極小値をとる。

$f(2, -2) = 16 + 16 - 4(4) - 4(4) + 8(2)(-2) = 32 - 16 - 16 - 32 = -32$

(c) $(-2, 2)$ のとき、

$D(-2, 2) = (12(4) - 8)(12(4) - 8) - 64 = (48 - 8)(48 - 8) - 64 = 40 \times 40 - 64 = 1600 - 64 = 1536 > 0$

$f_{xx}(-2, 2) = 12(4) - 8 = 40 > 0$

よって、$(-2, 2)$ で極小値をとる。

$f(-2, 2) = 16 + 16 - 4(4) - 4(4) + 8(-2)(2) = 32 - 16 - 16 - 32 = -32$

(d) $(0,0)$ の場合を考える。

$f(x,0) = x^4 - 4x^2 = x^2(x^2 - 4)$

$x$が0に近いとき、この値は負になるため、$f(0,0)$は極小値ではない。

$f(0,y) = y^4 - 4y^2 = y^2(y^2 - 4)$

$y$が0に近いとき、この値は負になるため、$f(0,0)$は極小値ではない。

よって$(0,0)$は鞍点。

3. 最終的な答え

極小値: $f(2, -2) = -32$, $f(-2, 2) = -32$

鞍点: $(0,0)$